완비성공리(completeness axiom)

 

최소상계공리라고도 불리는 완비성공리를 알아보기에 앞서 몇가지 정의를 알아야한다.

 

정의1

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $E$에 대하여, 명제 모든 $x \in E$에 대하여,

$x\leq u \, [u\leq x]$인 $u \in \mathbb{R}$가 존재한다.

를 만족할 때, 집합 $E$는 위로 유계(bounded above) [아래로 유계(bounded below)]라고 한다. 이때, $u \in \mathbb{R}$를  $E$의 상계(upper bound) [하계(lower bound)]라고 한다.

또한, $E$가 위로 유계인 동시에 아래로 유계일 때는 $E$는 유계(bounded)라고 한다.

 

ex)

집합 $E=\left\{ \frac{1}{n} \; | \; n \in \mathbb{N}\right\}$은 위로 유계이면서 아래로 유계이다. 즉, 집합 $E$는 유계이다.

짝수 집합은 유계가 아니다.

 

 

 

정의2

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $E$가 위로 유계라고 하자. 다음의 두 조건을 만족하는 $\alpha \in \mathbb{R}$가 존재할 때,  $\alpha $를 $E$의 상한(supremum) 또는 최소상계(least upper bound)라고 한다.

(1) $\alpha $는 $E$의 상계이다.

(2) 임의의 $\varepsilon >0 $에 대하여  $\alpha - \varepsilon < x \leq \alpha \,$인 $x \in E \,$가 존재한다.

(즉, $\beta \in \mathbb{R}$이고 $\beta < \alpha$이면 $\beta $는 $E$의 상계가 될 수 없다.)

 

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $E$가 아래로 유계라고 하자. 다음의 두 조건을 만족하는  $u \in E \,$가 존재할 때,  $u$를 $E$의 하한(infimum) 또는 최대하계(greatest lower bound)라고 한다.

(1)  $u$는 $E$의 하계이다.

(2) 임의의 $\varepsilon >0 $에 대하여 $u \leq x < u + \varepsilon $인 $x \in E \,$가 존재한다.

(즉, $v \in \mathbb{R}$이고 $u < v$이면  $v$는 $E$의 하계가 될 수 없다.)

 

 

집합 $E$의 최소상계 $\alpha $를 기호로 $\alpha = supE$라 하고

집합 $E$의 최대하계 $u$를 기호로 $u=infE$라 한다.

 

 

 

완비성공리(completeness axiom)

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $E$가 위로 유계이면, 반드시 그 상한이 존재한다.

 

 

 

 

 

 

다음정리는 위로유계에 관련된 공리만 있는 이유이다.

 

정리

완비성공리는 다음 명제와 동치이다.

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $E$가 아래로 유계이면, 반드시 그 하한이 존재한다.