닮음

 

정리1

$B$와 $B'$이 유한차원 벡터공간 $V$의 기저이고 $I:V \to V$는 $V$상의 항등연산자이면

$$P_{B \to B'} = [I]_{B, B'}$$

이다.

 

  $[I_{B', B}] = \left [ \; [I(\mathbf{u}_{1})]_{B'} \; | \; [I(\mathbf{u}_{2})]_{B'} \; | \; \cdots \; | \; [I(\mathbf{u}_{n})]_{B'} \; \right ]$
         $= \left [ \; [\mathbf{u}_{1}]_{B'} \; | \; [\mathbf{u}_{2}]_{B'} \; | \; \cdots \; | \; [\mathbf{u}_{n}]_{B'} \; \right ]$
          $= P_{B \to B'}$

 

 

 

정리2

$T:V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 상의 선형연산자라 하고 $B$와 $B'$을 $V$의 기저라 하자. 그러면

$$[T]_{B'} = P^{-1}[T]_{B}P$$

여기서 $P = P_{B' \to B}$이고 $P^{-1} = P_{B \to B'}$이다.

 

  $T = I \circ T \circ I$이므로

  $[T]_{B', B'} = [I \circ T \circ I]_{B', B'} = [I]_{B', B}[T]_{B, B}[I]_{B, B'}$

  이다.

  (선형변환-일반 선형변환의 행렬편 정리1 참고)

  즉,

  $[T]_{B'} = [I]_{B', B}[T]_{B}[I]_{B, B'}$

  이다. 따라서 위의 정리1에 의하여

  $[T]_{B'} = P_{B \to B'}[T_{B}]P_{B' \to B}$

 

 

 

정리3

두 행렬 $A$와 $B$가 닮기 위한 필요충분조건은 두 행렬이 동일한 선형연산자를 표현하는 것이다. 더욱이 $B = P^{-1}AP$라면, $P$는 행렬 $B$에 관한 기저에서부터 행렬 $A$에 관한 기저로의 전이행렬이다.

 

 

 

정의1

선형연산자 $T : V \to V$에 대하여 $V$의 임의의 두 기저를 $B$와 $B'$이라 하자. 위의 정리2에 의하여 $[T]_{B}$와 $[T]_{B'}$은 서로 닮음이므로 닮음불변 성질에 의해 두 행렬식은 같다. 즉,

$\det([T]_{B}) = \det([T]_{B'})$

따라서 $V$가 유한차원의 벡터공간이라면 선형변환 $T$의 행렬식(determinant of the linear operator $T$)을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\det([T]) = \det([T]_{B})$

여기서 $B$는 $V$의 임의의 기저이다.