이차형식
정의1
일반적으로 $A$가 $n \times n$ 대칭행렬이고 $\mathbf{x}$가 $n \times 1$ 변수 열벡터이면 함수
$$Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$$
를 $A$에 연관된 이차형식(qudratic form associated with A)이라고 한다. 편의상
$$\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}$$
와 같이 점곱으로 표현할 수 있다.
# $A$가 대각성분이 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$인 대각행렬이면
$\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = \lambda_{1}x_{1}^{2} + \lambda_{2}x_{2}^{2} + \cdots + \lambda_{1}x_{n}^{2}$
정의2
$\mathbf{x} = P\mathbf{y}$
를 대입하여 변수 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$을 새로운 변수 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$으로 표현할 때 $P$가 가역행렬이면 변수변환(change of variable)이라 하고 $P$가 직교행렬이면 직교변수변환(orthogonal change of variable)이라 한다.
정리1 주축정리
$A$가 $n \times n$ 대칭행렬이면, 이차형식 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$를 혼합항이 없는 이차형식 $ \mathbf{y}^{T}A\mathbf{y}$로 변환할 수 있는 직교변수변환이 존재한다. 특히 $P$가 $A$를 직교대각화하면 변수변환 $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$는 이차형식 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$를 이차형식
$$\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = \mathbf{y}^{T}A\mathbf{y} = \lambda_{1}{y_{1}}^{2} + \lambda_{2}{y_{2}}^{2} + \cdots + \lambda_{n}{y_{n}}^{2}$$
으로 변환한다. 여기서 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$은 $P$의 연속적인 열을 구성하는 고유벡터에 대응하는 $A$의 고유값이다.
$A$가 대칭행렬이므로 직교대각화 가능하다. 즉,
$P^{T}AP = D$
인 직교행렬 $P$가 존재한다. 이때 $D$는 대각행렬이다.
$\mathbf{x} = P\mathbf{y}$라 하면
$\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = (P\mathbf{y})^{T}A(P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^{T}P^{T}AP\mathbf{y} = \mathbf{y}^{T}D\mathbf{y}$
원뿔곡선
$ax_{2} + 2bxy + cy_{2} + dx + ey + f = 0$
은 원뿔곡선을 나타낸다. 이때 $d = e =0$이면 일차항이 나타나지 않으며
$ax^{2} + 2bxy + cy^{2} + f = 0$
은 중앙원뿔곡선(central conic)을 표현한다고 한다. 더욱이 $b = 0$이라면
$ax^{2} + cy^{2} + f = 0$
이 되며 표준위치에 있는 중앙원뿔곡선(central conic in standard position)을 표현한다고 한다.
$k = -f$라 놓으면 위 방정식들은 행렬표기법으로 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
$\begin{bmatrix}
x & y \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b \\
b & c \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \end{bmatrix}$ 그리고 $\begin{bmatrix}
x & y \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & 0 \\
0 & c \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \end{bmatrix}$
중앙원뿔곡선은 주축정리를 이용하여 좌표축을 회전한 후 표준위치에 있는 중앙원뿔곡선으로 변환할 수 있다. 이때 $\det(P) = 1$이면 $P$의 첫번째 열벡터는 변환된 첫번째 좌표축의 양의 방향과 일치하고 $P$의 두번째 열벡터는 변환된 두번째 좌표축의 양의 방향과 일치한다.
정의2
이차형식 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$는
$ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$에 대하여 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} > 0$이면 양의 정부호(positive definite)
$ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$에 대하여 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} < 0$이면 음의 정부호(negative definite)
$ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$가 양의 값이기도 하고 음의 값이기도 하면 부정(indefinite)
이라고 한다.
# $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$에 대하여 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} \geq 0$이면 준 양의 정부호(positive semidefinite)
$ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$에 대하여 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} \leq 0$이면 준 음의 정부호(negative semidefinite)
라 한다.
정리2
$A$가 대칭행렬이면
1. $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$가 양의 정부호이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값이 양인 것이다.
2. $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$가 음의 정부호이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값이 음인 것이다.
3. $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$가 부정이기 위한 필요충분조건은 적어도 하나의 고유값이 양인 것이고 적어도 하나의 고유값이 음인 것이다.
1, 2.
$A$의 고유값을 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$이라 하면 위의 정리1에 의하여
$\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = \mathbf{y}^{T}A\mathbf{y} = \lambda_{1}{y_{1}}^{2} + \lambda_{2}{y_{2}}^{2} + \cdots + \lambda_{n}{y_{n}}^{2}$
을 만족하는 직교변수변환 $\mathbf{x} = P \mathbf{y}$가 존재한다.
이때 $P$가 가역이므로 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$일 때만 $\mathbf{y} \neq \mathbf{0}$이다.
따라서 모든 $\lambda$가 모두 양수일 때만 모든 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$에 대하여 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = \mathbf{y}^{T}A\mathbf{y} > 0$이고
모든 $\lambda$가 모두 음수일 때만 모든 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$에 대하여 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} < 0$이다.
3.
또한 $A$가 적어도 하나의 양의 고유값과 적어도 하나의 음의 고유값을 갖으면 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$가 부정이다.
역으로 어떤 $\mathbf{x}$에 대하여 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} > 0$이면 적절한 $\mathbf{y}$에 대하여 $\mathbf{y}^{T}A\mathbf{y} > 0$이다. 즉,
적어도 하나의 $\lambda$는 양수이어야 한다.
유사하게 어떤 $\mathbf{x}$에 대하여 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} < 0$이면 적어도 하나의 $\lambda$는 음수이어야 한다.
따름정리
$2 \times 2$ 대칭행렬에 대하여
1. $A$가 양의 정부호이면 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = 1$은 타원을 나타낸다.
2. $A$가 음의 정부호이면 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = 1$은 그래프를 갖지 않는다.
3. $A$가 부정이면 $ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = 1$은 쌍곡선을 나타낸다.
정의3
$n \times n$ 행렬 $A$의 처음 $k$개의 행과 열로 이루어진 $k \times k$ 부분행렬을 $k$번째 주부분행렬($k$th principal submatrix)라 한다.
정리4
대칭행렬 $A$가 양의 정부호일 필요충분조건은 모든 주부분행렬의 행렬식이 양인 것이다.
# 증명생략