콤팩트 집합(compact set)

 

콤팩트 집합이 무엇인지 알아보기 전에 몇가지 정의를 알아보아야 한다.

 

정의1

$E$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라 하고, 집합족 $\mathfrak{C}=\left\{O_{\alpha } \; | \; \alpha \in I\right\}$에 있어서 $E \subset \bigcup_{\alpha \in I}^{} O_{\alpha }$이면, 집합족 $\mathfrak{C}$를 $E$의 덮개(cover)라고 한다. 특히 $\mathfrak{C}$의 각 원소 $O_{\alpha } ( \alpha \in I ) $가 open set이면 $\mathfrak{C}$를 $E$의 열린덮개(open cover)라고 한다.

 

 

 

정의2

$\mathfrak{C}$를 $E$의 덮개라고 하자. $\mathfrak{C}$의 부분집합족 $\mathfrak{D}$(즉, $\mathfrak{D} \subset \mathfrak{C}$) 가 다시 $E$의 덮개이면 $\mathfrak{D}$를 $\mathfrak{C}$의 부분덮개(subcover)라 하고, 특히 $\mathfrak{D}$가 $\mathfrak{C}$의 유한개의 원소 $O_{1 }, O_{2 }, \cdots ,O_{n }$으로 이루어져 있으면(즉, $\mathfrak{D}$가  $\mathfrak{C}$의 유한부분집합족이면) $\mathfrak{D}$를 $\mathfrak{C}$의 유한부분덮개(finite subcover)이라 한다.

 

 

 

이제 콤팩트 집합의 정의를 살펴보자.

 

정의3

$K$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라 하자. 집합 $K$의 임의의 열린덮개가 유한부분덮개를 가질때(존재할 때), $K$를 콤팩트 집합(compact set)이라고 한다.

 

이를 식으로 살짝 정리하면

$K \subset \mathbb{R}$ compact set  $\Leftrightarrow $ 

집합 $K$의 임의의 open cover $\left\{O_{\alpha } \; | \; \alpha \in I\right\}$에 대하여,  $\exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; K \subset  \bigcup_{n=1}^{N} O_{\alpha_{n}}, \; \alpha_{n} \in I$

 

 

 

만약 이런 개념을 처음 접한 사람은 이게 무슨 의미인가, 왜 이것을 정의 했을까에 대한 궁금증이 있을 수 있다.

다음 정리들을 통하여 콤팩트 집합이 어떤 모습을 가지고 있는지 대략 확인해볼 수 있다.

 

정리1

$K$ compact set  $\Rightarrow $  $K$ closed set

 

  임의의 $x \in K^{C}$에 대하여,

  $O_{n} = \overline{N(x, \frac{1}{n})}^{\;C}$,  $\mathfrak{C} = \left\{O_{n} \; | \; n \in \mathbb{N} \right\}$이라 하자.

  그러면 $\bigcup_{n=1}^{\infty } O_{n}=\mathbb{R}-\left\{x \right\}$이므로 $K \subset  \bigcup_{n=1}^{\infty } O_{n}$이다. 즉, 집합족 $\mathfrak{C}$는 집합 $K$의 open cover이다.

  $K$는 compact set이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $K \subset  \bigcup_{n=1}^{N} O_{n} = \overline{N(x, \frac{1}{N})}^{\;c}$

  를 만족한다.

  $\therefore$  $\overline{N(x, \frac{1}{N})} \subset K^{c}$

 

  $\varepsilon = \frac{1}{2N}(>0)$이라 하자.

  그러면 $N(x, \varepsilon ) \subset  \overline{N(x, \frac{1}{N})} \subset K^{c}$이다.

  즉, $\forall x \in K^{c}, \; \exists \varepsilon > 0 \;\; s.t. \;\; N(x, \varepsilon ) \subset K^{c} $

  $\therefore$  $K$ closed set

 

 

 

정리2

$K$ compact set  $\Rightarrow $  $K$ bdd

 

  $O_{n} = N(0, n)$, $\mathfrak{C} = \left\{O_{n} \; | \; n \in \mathbb{N} \right\}$이라 하자.

  그러면  $\bigcup_{n=1}^{\infty } O_{n}=\mathbb{R}$이므로 $K \subset  \bigcup_{n=1}^{\infty } O_{n}$이다. 즉, 집합족 $\mathfrak{C}$는 집합 $K$의 open cover이다.

  $K$는 compact set이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $K \subset  \bigcup_{n=1}^{N} O_{n} = (-N, N)$

  를 만족한다.

  즉, $\forall x \in K, \; \left|x \right| \leq N$

  $\therefore$  $K$ bdd

 

 

 

다음 글에는 콤팩트 집합의 진짜 정체를 알기 위해 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 대해 알아볼 것이다.