랭크, 무효차수
정리1
행렬 $A$의 행공간과 열공간의 차원은 같다.
$R$을 $A$의 행사다리꼴 행렬이라 하자.
$\dim(\text{row space of }A) = \dim(\text{row space of }R)$
$\dim(\text{column space of }A) = \dim(\text{column space of }R)$
이 성립한다.
(좌표와 기저-행공간, 열공간, 영공간편 정리3, 정리6-2 참고)
이때 $R$의 행공간과 열공간의 차원은 선도 1의 개수이므로
$\dim(\text{row space of }R) = \dim(\text{column space of }R)$
(좌표와 기저-행공간, 열공간, 영공간편 정리5 참고)
$\therefore$ $\dim(\text{row space of }A) = \dim(\text{column space of }A)$
정의1
행렬 $A$의 행공간과 열공간의 공통차원을 $A$의 랭크(rank 또는 계수, 유효차수 등)라 하고 $\mathrm{rank}(A)$로 표기하며, $A$의 영공간의 차원을 $A$의 무효차수(nullity)라 하고 $\mathrm{nullity}(A)$라고 표기한다.
정리2
$A$가 $n$개의 열을 갖는 행렬이면 다음이 성립한다.
$$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A) = n$$
$A$는 $n$개의 열을 갖고 있으므로 동차 연립방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 $n$개의 미지수를 갖는다.
이들은 선도변수와 자유변수로 구분된다. 즉,
[선도변수의 개수] + [자유변수의 개수] = $n$
이때 선도변수의 개수는 $A$의 기약 행사다리꼴에 있는 선도 1의 개수와 동일하고,
자유변수는 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 일반해에 있는 매개변수의 개수 즉, $A$의 무효차수와 동일하다.
$\therefore$ $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A) = n$
Remark
$A$가 $m \times n$행렬이라면 다음이 성립한다.
1. $\mathrm{rank}(A)=A\mathbf{x}=\mathbf{0}$의 일반해에 있는 선도변수의 개수
2. $\mathrm{nullity}(A)=A\mathbf{x}=\mathbf{0}$의 일반해에 있는 매개변수의 개수
정의2
미지수보다 더 많은 제약을 갖는 연립방정식을 과도결정계(overdetermined system)라 하고 미지수보다 적은 제약을 갖는 연립방정식을 과소결정계(underdetermined system)라 한다.
따름정리
$A$의 랭크가 $r$인 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$가 $n$개의 미지수를 가지는 $m$개의 방정식으로 이루어진 일치하는 연립방정식이라면 연립방정식의 일반해는 $n-r$개의 매개변수를 갖는다.
정리3
$A$가 $m \times n$행렬일 때
1. (과도결정된 경우) 만약 $m > n$이면 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 $\mathrm{R}^{n}$에 있는 적어도 하나의 벡터 $\mathbf{b}$에 대해 해를 갖지 않는다.
2. (과소결정된 경우) 만약 $m < n$이면 $\mathrm{R}^{m}$에 있는 각 벡터 $\mathbf{b}$에 대하여 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 해를 갖지 않거나 또는 무수히 많은 해를 갖는다.
pf)
$m>n$이므로 $A$의 열벡터들은 $R^{m}$을 생성할 수 없다.
( $\because$ $R^{m}$의 차원보다 벡터 개수가 작다.)
즉, $R^{m}$에 $A$의 열공간에 속하지 않는 적어도 하나의 벡터 $\mathbf{b}$가 있다.
$\therefore$ 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 $\mathrm{R}^{n}$에 있는 적어도 하나의 벡터 $\mathbf{b}$에 대해 해를 갖지 않는다.
(좌표와 기저-행공간, 열공간, 영공간편 정리1 참고)
Case 1 : $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 해를 갖지 않는다.
Clear
Case 2 : $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 해를 갖는다.
$\mathrm{rank}(A) = r$이라 하면 위의 정리3에 의하여 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 일반해가 $n-r$개의 매개변수를 갖는다.
이때 $r \leq \min\left\{m, n \right\} = m$이므로
$n - r \geq n - m > 0$
이다.
이는 일반해가 적어도 하나의 매개변수를 갖고 있으며 거기에는 무수히 많은 해가 있다는 것을 의미한다.