좌표, 기저, 차원
정의1
만약 $V$가 임의의 벡터공간이고, $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$이 벡터 $V$안의 유한집합이라 하면, $S$가 다음 두 조건을 만족할 때, $V$의 기저(basis)라 한다.
$(\mathrm{i})$ $S$는 일차독립이다.
$(\mathrm{ii})$ $S$는 $V$를 생성한다.
정리1
$S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$이 벡터공간 $V$의 기저라 하자. 그러면 $V$ 속의 모든벡터 $ \mathbf{v}$는 단 한 가지 방법으로
$$\mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}$$
의 형식으로 표현할 수 있다.
$S$가 $V$를 생성하므로 $V$에 속하는 모든 벡터는 $S$에 속하는 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
$V$ 내의 임의의 벡터 $\mathbf{v}$가
$\mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}$
$\mathbf{v} = d_{1}\mathbf{v}_{1} + d_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{n}\mathbf{v}_{n}$
으로 표현된다 가정하자.
첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면
$\mathbf{0} = (c_{1} - d_{1})\mathbf{v}_{1} + (c_{2} - d_{2})\mathbf{v}_{2} + \cdots + (c_{n} - d_{n})\mathbf{v}_{n}$
이다. $S$가 일차독립이고 $S$ 내의 벡터들의 일차결합이기 때문에
$c_{1} -d_{1} = 0, \quad c_{2} -d_{2} = 0, \quad \cdots, \quad c_{n} -d_{n} = 0$
만을 만족한다.
$\therefore$ $c_{1} = d_{1}, \quad c_{2} = d_{2}, \quad \cdots, \quad c_{n} = d_{n}$
정의2
$S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$가 벡터공간 $V$의 기저이고,
$$\mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}$$
이 기저 $S$를 이용한 $ \mathbf{v}$의 표현일 때, 스칼라 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$을 기저 $S$에 대한 $ \mathbf{v}$의 좌표(coordinate of $ \mathbf{v}$ relative to $S$)라 한다. 이들 좌표로 구성된 $\mathrm{R}^{n}$의 벡터 $(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n})$를 기저 $S$에 대한 $ \mathbf{v}$의 좌표벡터(coordinate vector of $ \mathbf{v}$ relative to $S$)라 하고,
$$( \mathbf{v})_{S} = (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n})$$
으로 표기한다.
※ 때때로 좌표벡터를 열행렬
$$[\mathbf{v}] _{S} = \begin{bmatrix}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n} \end{bmatrix}$$
로 나타내기도 한다.
정리2
$V$가 유한차원 벡터공간이고, $\begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$이 임의의 기저라 하자.
1. $n$개보다 많은 벡터를 갖는 집합은 일차종속이다.
2. $n$개보다 적은 벡터를 갖는 집합은 $V$를 생성하지 못한다.
pf)
$S' = \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{m} \right\}$이 $V$ 내의 $m \; ( > n)$개의 집합이라 하자.
$S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 기저이므로 각 $\mathbf{w}_{i}$는 $S$ 내의 벡터들의 일차결합으로 표현할 수 있다. 즉,
$\mathbf{w}_{1} = a_{11}\mathbf{v}_{1} + a_{12}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{1n}\mathbf{v}_{n}$
$\mathbf{w}_{2} = a_{21}\mathbf{v}_{1} + a_{22}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{2n}\mathbf{v}_{n}$
$\vdots$
$\mathbf{w}_{m} = a_{m1}\mathbf{v}_{1} + a_{m2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{mn}\mathbf{v}_{n}$
으로 표현된다.
$k{1}\mathbf{w}_{1} + k_{2}\mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{w}_{m} = \mathbf{0}$
에 대하여
$(k_{1}a_{11} + \cdots + k_{m}a_{m1})\mathbf{v}_{1} + \cdots + (k_{1}a_{1n} + \cdots + k_{m}a_{mn})\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$
으로 나타낼 수 있고 이때 $S$는 일차독립이므로
$a_{11}k_{1} + a_{21}k_{2} + \cdots + a_{m1}k_{m} = 0 $
$a_{12}k_{1} + a_{22}k_{2} + \cdots + a_{m2}k_{m} = 0 $
$\vdots$
$a_{1n}k_{1} + a_{2n}k_{2} + \cdots + a_{mn}k_{m} = 0 $
을 만족한다.
방정식보다 미지수의 개수가 많으므로 비자명해가 존재한다.
(연립일차방정식-동차연립방정식에 대한 자유변수 정리편 정리2 참고)
$\therefore$ $S'$은 일차종속
$S' = \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{m} \right\}$이 $V$ 내의 $m \; ( < n)$개의 집합이라 하자.
Suppose 1 : $S'$이 $V$를 생성
$S'$이 $V$를 생성하므로 각 $v_{i}$는 $S'$ 내의 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있다. 즉,
$\mathbf{v}_{1} = a_{11}\mathbf{w}_{1} + a_{12}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{1m}\mathbf{w}_{m}$
$\mathbf{v}_{2} = a_{21}\mathbf{w}_{1} + a_{22}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{2m}\mathbf{w}_{m}$
$\vdots$
$\mathbf{v}_{n} = a_{n1}\mathbf{w}_{1} + a_{n2}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{nm}\mathbf{w}_{m}$
으로 표현된다.
$k{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$
에 대하여
$(k_{1}a_{11} + \cdots + k_{n}a_{n1})\mathbf{w}_{1} + \cdots + (k_{1}a_{1m} + \cdots + k_{n}a_{nm})\mathbf{w}_{m} = \mathbf{0}$
으로 나타낼 수 있다.
만약 $S'$이 일차종속이면 비자명해가 존재하고 이때 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$은 모두 $0$이 아니다.
만약 $S'$이 일차독립이면
$a_{11}k_{1} + a_{21}k_{2} + \cdots + a_{n1}k_{n} = 0 $
$a_{12}k_{1} + a_{22}k_{2} + \cdots + a_{n2}k_{n} = 0 $
$\vdots$
$a_{1m}k_{1} + a_{2m}k_{2} + \cdots + a_{nm}k_{n} = 0 $
을 만족한다.
방정식보다 미지수의 개수가 많으므로 비자명해가 존재한다.
(연립일차방정식-동차연립방정식에 대한 자유변수 정리편 정리2 참고)
$\therefore$ $S$는 일차종속
Contradiction
$\therefore$ $S'$은 $V$를 생성하지 못한다.
따름정리
유한차원 벡터공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 갖는다.
정의1
유한차원 벡터공간 $V$의 차원(dimension)은 $\dim(V)$로 표기하고, $V$의 기저 안의 벡터들의 개수로 정의한다. 더불어, 영벡터공간은 0차원을 갖는 것으로 정의한다.
정리3
$S$를 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 벡터집합이라 하자.
1. $S$가 일차독립이고 $\mathbf{v}$가 $\mathrm{span}(S)$에 속하지 않는 $V$의 벡터이면, $\mathbf{v}$를 $S$에 추가하여 얻어진 집합 $S \cup \begin{Bmatrix} \mathbf{v} \end{Bmatrix}$ 또한 일차독립이다.
2. $\mathbf{v}$가 $S$에 속하는 벡터로서 $S$에 속하는 나머지 벡터의 일차결합으로 표시될 수 있고, $S -\begin{Bmatrix} \mathbf{v} \end{Bmatrix}$가 $\mathbf{v}$를 $S$에서 제거해서 얻어진 집합을 나타내면, $S$와 $S - \begin{Bmatrix} \mathbf{v} \end{Bmatrix}$는 같은 공간을 생성한다. 즉,
$$\mathrm{span}(S) = \mathrm{span}(S - \begin{Bmatrix} \mathbf{v} \end{Bmatrix})$$
이다.
pf)
$S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \right\}$을 $V$에 속하는 벡터의 일차독립 집합이라 하고
$\mathbf{v}$를 $\mathrm{span}(S)$에 속하지 않은 $V$의 벡터라 하자.
$S' = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}, \mathbf{v} \right\}$라 하면
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} + k_{r+1}\mathbf{v} = \mathbf{0}$
에 대하여 $k_{r+1} = 0$이다.
( $\because$ $k_{r+1} \neq 0$이면 $\mathbf{v}$는 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}$의 일차결합으로 표현된다.)
따라서 간단히
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$
으로 나타낼 수 있고 이때 $S$는 일차독립이므로
$k_{1} = k_{2} = \cdots = k_{r} = 0$
이다.
$\therefore$ $S'$은 일차독립
$S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \right\}$을 $V$에 속하는 벡터의 일차독립 집합이라 하고
특별히 $\mathbf{v}_{r}$이 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r-1}$의 일차결합이라고 하자. 즉,
$\mathbf{v}_{r} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}$
으로 표현된다.
$S' = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r-1} \right\}$이라 하면 명백히 $\mathrm{span}(S') \subset \mathrm{span}(S)$이다.
Suppose 1 : $\mathbf{w} \in \mathrm{span}(S)$
$\mathbf{w} \in \mathrm{span}(S)$이므로
$\mathbf{w} = d_{1}\mathbf{v}_{1} + d_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{r-1}\mathbf{v}_{r-1} + d_{r}\mathbf{v}_{r}$
으로 표현된다. 즉,
$\mathbf{w} = d_{1}\mathbf{v}_{1} + d_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{r-1}\mathbf{v}_{r-1} + d_{r}( c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{r-1}\mathbf{v}_{r-1} )$
으로 나타낼 수 있으므로 $\mathbf{w}$가 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r-1}$의 일차결합으로 표현된다.
$\therefore$ $\mathbf{w} \in \mathrm{span}(S')$
$\therefore$ $\mathrm{span}(S) \subset \mathrm{span}(S')$
$\therefore$ $\mathrm{span}(S) = \mathrm{span}(S')$
정리4
$V$가 $n$차원 벡터공간이고 $S$가 정확히 $n$개의 벡터를 갖는 $V$의 집합이라 하자. $S$가 $V$의 기저일 필요충분조건은 $S$가 $V$를 생성하든지 또는 $S$가 일차독립인 것이다.
pf)
$\Rightarrow)$
Clear
$\Leftarrow)$
Case 1 : $S$가 정확히 $n$개의 벡터를 가지며 $V$를 생성
Ca 1 - Suppose 1 : $S$는 일차종속
즉, $S$에 속하는 어떤 벡터 $\mathbf{v}$는 나머지 벡터의 일차결합이 된다.
위의 정리3-2에 의하여 이 벡터를 $S$에서 제거할지라도 나머지 $n-1$개의 벡터집합은 역시 $V$를 생성한다.
그러나 위의 정리2-2로 부터 $n$보다 작은 벡터를 갖는 집합은 $n$차원 벡터공간을 생성할 수 없다.
Contradiction
$\therefore$ $S$는 일차독립
$\therefore$ $S$는 $V$의 기저
Case 2 : $S$가 정확히 $n$개의 벡터를 가지며 일차독립
Ca 2 - Suppose 1 : $S$가 $V$를 생성하지 않는다
즉, $\mathrm{span}(S)$에 속하지 않는 $V$의 어떤 벡터 $\mathbf{v}$가 존재한다.
위의 정리 3-1에 의하여 이 벡터를 $S$에 추가해도 $n+1$개의 벡터집합은 역시 일차독립이다.
그러나 위의 정리2-1로 부터 $n$차원 벡터공간에 있어서 $n$보다 큰 벡터를 갖는 집합은 일차독립일 수 없다.
Contradiction
$\therefore$ $S$가 $V$를 생성
$\therefore$ $S$는 $V$의 기저
정리5
$S$를 유한차원 벡터공간 $V$의 유한 벡터 집합이라 하자.
1. $S$가 $V$를 생성하나 $V$의 기저가 아니면, $S$에서 적당한 벡터들을 제거하여 $V$의 기저로 축소할 수 있다.
2. $S$가 일차독립 집합이지만 $V$의 기저가 아니면, $S$에 $V$의 적당한 벡터를 추가하여 $V$의 기저로 확장할 수 있다.
pf)
즉, $S$는 일차종속이므로 $S$에 속하는 어떤 벡터 $\mathbf{v}$는 $S$에 속하는 나머지 벡터의 일차결합으로 표현될 수 있다.
위의 정리 3-2에 의하여 $\mathbf{v}$를 $S$에서 제거한 집합 $S'$은 역시 $V$를 생성한다.
만일 $S'$이 일차독립이면 $S'$은 $V$의 기저이고 따라서 증명은 끝난다.
만일 $S'$이 일차종속이면 어떤 적당한 벡터를 제거하여 역시 $V$를 생성하는 $S''$을 구할 수 있다.
이와 같은 방법으로 벡터를 계속 제거해가면 결국에는 일차독립이면서 $V$를 생성하는 $S$의 부분집합에 도달된다.
즉, $S$는 $V$를 생성할 수 없으므로 $\mathrm{span}(S)$에 속하지 않는 $V$의 어떤 벡터 $\mathrm{v}$가 존재한다.
위의 정리 3-1에 의하여 $\mathbf{v}$를 $S$에 추가한 집합 $S'$은 역시 일차독립이다.
만일 $S'$이 $V$를 생성하면 $S'$은 $V$의 기저이고 따라서 증명은 끝난다.
만일 $S'$이 $V$를 생성하지 않으면 어떤 적당한 벡터를 추가하여 역시 일차독립인 $S''$을 구할 수 있다.
이와 같은 방법으로 벡터를 계속 추가해가면 결국에는 일차독립이면서 $V$를 생성하는 $S$의 부분집합에 도달된다.
정리6
$W$가 유한차원 벡터공간 $V$의 부분공간이면
1. $W$는 유한차원이다.
2. $\dim(W) \leq \dim(V)$
3. $W = V$일 필요충분조건은 $\dim(W) = \dim(V)$
pf)
Suppose 1 : $W$는 무한차원
$S = \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{m}, \cdots \right\}$
을 $W$의 기저라 하자.
$V$는 유한차원이므로 $\dim(V) = n$이라 하면
위의 정리 2-1에 의하여 $n$개보다 많은 벡터를 갖는 집합 $W$는 일차종속이다.
Contradiction
$\therefore$ $W$는 유한차원
1.에 의하여 $W$는 유한차원이다. 따라서
$S = \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{m} \right\}$
을 $W$의 기저라 하자.
Case 1 : $S$는 $V$의 기저
$\therefore$ $\dim(V) = m$
$\therefore$ $\dim(W) = \dim(V)$
Case 2 : $S$는 $V$의 기저가 아니다
$S$는 일차독립이므로 위의 정리 5-2에 의하여 집합 $S$에 벡터를 추가하여 $S$가 $V$의 기저로 되게 할 수 있다.
$\therefore$ $\dim(W) < \dim(V)$
$\therefore$ $\dim(W) \leq \dim(V)$
$\Rightarrow)$
Clear
$\Leftarrow)$
$S = \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{m} \right\}$
을 $W$의 기저라 하자.
Suppose 1 : $S$는 $V$의 기저가 아니다
$S$는 일차독립이므로 위의 정리 5-2에 의하여 집합 $S$에 벡터를 추가하여 $S$가 $V$의 기저로 되게 할 수 있다.
$\therefore$ $\dim(W) < \dim(V)$
Contradiction
$\therefore$ $S$는 $V$의 기저이다.
$\therefore$ $W = V$