일차독립
정의1
$S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \end{Bmatrix}$이 벡터공간 $V$내의 공집합이 아닌 벡터의 집합이면, 벡터방정식
$$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$$
은 적어도 하나의 해
$$k_{1} = 0, \;\; k_{2} = 0, \;\; \cdots , \;\; k_{r} = 0$$
를 갖는다. 이것을 자명해(trivial solution)라 한다.
만약 이것이 단 하나의 해이면, $S$는 일차독립집합(linearly independent set)이라 한다.
만약 자명해 이외의 다른 해가 있다면, $S$는 일차종속집합(linearly dependent set)이라 한다.
정리1
두개 또는 그 이상의 벡터 집합 $S$가
1. 일차종속일 필요충분조건은 $S$내의 벡터 중의 적어도 하나를 $S$ 내의 다른 벡터들의 일차결합으로 표시할 수 있다는 것이다.
2. 일차독립일 필요충분조건은 $S$ 내의 어떠한 벡터도 $S$ 내의 다른 벡터들의 일차결합으로 표시 할 수 없다는 것이다.
pf)
$S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \right\}$을 두 개 이상의 벡터를 갖는 집합이라 하자.
Show 1 : $\Rightarrow)$
$S$는 일차종속이므로
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$
에 대하여 모두 영은 아닌 스칼라 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$이 존재한다.
특별히 $k_{1} \neq 0$이라 하면
$\mathbf{v}_{1} = (-\frac{k_{2}}{k_{1}})\mathbf{v}_{2} + \cdots + (-\frac{k_{r}}{k_{1}})\mathbf{v}_{r}$
이므로 $\mathbf{v}_{1}$이 $S$에 속하는 다른 벡터의 일차결합이다.
Show 2 : $\Leftarrow)$
특별히
$\mathbf{v}_{1} = c_{2}\mathbf{v}_{2} + c_{3}\mathbf{v}_{3} + \cdots + c_{r}\mathbf{v}_{r}$
이라 하면
$\mathbf{v}_{1} - c_{2}\mathbf{v}_{2} + c_{3}\mathbf{v}_{3} + \cdots + c_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$
이다. 즉,
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$
에 대하여 비자명해가 존재한다.
$\therefore$ $S$는 일차종속
2.
1을 증명하면 명백하다.
정리2
1. 영벡터를 포함하는 유한집합은 일차종속이다.
2. 한 개의 벡터만을 갖는 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 그 벡터가 영벡터가 아닌 것이다.
3. 두 벡터만을 갖는 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 이들 벡터 중의 어느 벡터도 다른 벡터의 스칼라배로 되지 않는 것이다.
pf)
임의의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}$에 대하여,
$0\mathbf{v}_{1} + 0\mathbf{v}_{2} + \cdots + 0\mathbf{v}_{r} + 1(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
이므로 $S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}, \mathbf{0} \right\}$은 일차종속이다.
$S = \left\{\mathbf{v} \right\}$라 하자.
Show 1 : $\Rightarrow)$
$S$는 일차독립이므로
$k\mathbf{v} = \mathbf{0}$
은 자명해만을 갖는다. 즉, $0$이 아닌 $k$에 대하여
$k\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$
을 만족한다.
$\therefore$ $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$
Show 2 : $\Leftarrow)$
$k\mathbf{v} = \mathbf{0}$
에 대하여 $k = 0$이거나 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$이다.
(벡터공간-벡터공간편 정리1-4 참고)
$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$이므로 $k = 0$이다.
$\therefore$ $S$는 일차독립
$S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \right\}$라 하자.
Show 1 : $\Rightarrow)$
$S$는 일차독립이므로
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} = \mathbf{0}$
은 자명해만을 갖는다. 즉, $0$이 아닌 $k_{1}, k_{2}$에 대하여
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} \neq \mathbf{0}$
을 만족한다.
$\therefore$ $\mathbf{v}_{1} \neq -\frac{k_{2}}{k_{1}}\mathbf{v}_{2}$
Show 2 : $\Leftarrow)$
$S$는 일차종속이라고 가정하자. 따라서
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} = \mathbf{0}$
에 대하여 자명해가 아닌 해가 존재한다. 즉, 둘 중에 하나는 $0$이 아니다.
$0$이 아닌 것을 $k_{1}$이라 하자.
$\therefore$ $\mathbf{v}_{1} = -\frac{k_{2}}{k_{1}}\mathbf{v}_{2}$
$\mathbf{v}_{1}$이 $\mathbf{v}_{2}$의 스칼라배이므로 모순이다.
$\therefore$ $S$는 일차독립
정리3
$S = \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \right\}$이 $R^{n}$ 상의 벡터의 집합이라 하자. 만일 $r > n$이라면, $S$는 일차종속이다.
$\mathbf{v}_{1} = (v_{11}, v_{12}, \cdots, v_{1n})$
$\mathbf{v}_{2} = (v_{21}, v_{22}, \cdots, v_{2n})$
$\vdots$
$\mathbf{v}_{r} = (v_{r1}, v_{r2}, \cdots, v_{rn})$
이라 하고, 방정식
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$
에 대하여 이 방정식을 성분으로 나타내고 대응 성분을 같도록 놓으면, 연립방정식
$v_{11}k_{1} + v_{21}k_{2} + \cdots + v_{r1}k_{r} = 0$
$v_{12}k_{1} + v_{22}k_{2} + \cdots + v_{r2}k_{r} = 0$
$\vdots$
$v_{1n}k_{1} + v_{2n}k_{2} + \cdots + v_{rn}k_{r} = 0$
을 얻는다. 이것은 $r$개의 미지수 $k_{1}, \cdots, k_{r}$를 갖는 $n$개의 방정식으로 이루어진 동차 연립방정식이다.
이때 $r> n$이므로 이 연립방정식은 비자명해를 갖는다.
(연립일차방정식-동차연립방정식에 대한 자유변수 정리편 정리2 참고)
$\therefore$ $S$는 일차종속이다.
정의2
만일 $\mathbf{f}_{1} = f_{1}(x), \; \mathbf{f}_{2} = f_{2}(x), \; \cdots, \; \mathbf{f}_{n} = f_{n}(x)$가 구간 $(-\infty, \infty)$에서 $n-1$번 미분가능한 함수이면, 행렬식
$$W(x) = \begin{vmatrix}
f_{1}(x) & f_{2}(x) & \cdots & f_{n}(x) \\
f'_{1}(x) & f'_{2}(x) & \cdots & f'_{n}(x) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{1}^{(n-1)}(x) & f_{2}^{(n-1)}(x) & \cdots & f_{n}^{(n-1)}(x) \\
\end{vmatrix}$$
를 $f_{1}, \; f_{2}, \; \cdots, \; f_{n}$의 론스키언(Wronskian)이라 한다.
정리4
만일 $\mathbf{f}_{1}, \; \mathbf{f}_{2}, \; \cdots, \; \mathbf{f}_{n}$이 구간 $(-\infty, \infty)$에서 $n-1$차 연속도함수를 가지고, 이들 함수의 론스키언이 $(-\infty, \infty)$의 모든 $x$에 대하여 항상 영이지는 않다고 하자. 그러면 이들 함수는 $\mathrm{C}^{(n-1)}(-\infty,\infty )$의 벡터의 일차독립집합을 이룬다.
위 명제의 대우를 통해 증명할 것이다.
$\mathbf{f}_{1} = f_{1}(x), \; \mathbf{f}_{2} = f_{2}(x), \; \cdots, \; \mathbf{f}_{n} = f_{n}(x)$가 $C^{n-1}(-\infty, \infty)$에서 일차종속벡터라고 가정하자.
이것은
$k_{1}\mathbf{f}_{1} + k_{2}\mathbf{f}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{f}_{n} = \mathbf{0}$
의 계수가 비자명해를 가짐을 의미한다. 즉, $(-\infty, \infty)$의 모든 $x$에 대하여
$k_{1}f_{1}(x) + k_{2}f_{2}(x) + \cdots + k_{n}f_{n}(x) = 0$
을 만족한다.
이 방정식을 순차적으로 $n-1$번 미분하여 얻어진 방정식들과 결합하면
$k_{1}f_{1}(x) + k_{2}f_{2}(x) + \cdots + k_{n}f_{n}(x) = 0$
$k_{1}f_{1}'(x) + k_{2}f_{2}'(x) + \cdots + k_{n}f_{n}'(x) = 0$
$\vdots$
$k_{1}f_{1}^{n-1}(x) + k_{2}f_{2}^{n-1}(x) + \cdots + k_{n}f_{n}^{n-1}(x) = 0$
으로 된다. 따라서 $(-\infty, \infty)$의 모든 $x$에 대하여 연립방정식
$\begin{bmatrix}
f_{1}(x) & f_{2}(x) & \cdots & f_{n}(x) \\
f'_{1}(x) & f'_{2}(x) & \cdots & f'_{n}(x) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{1}^{(n-1)}(x) & f_{2}^{(n-1)}(x) & \cdots & f_{n}^{(n-1)}(x) \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
k_{1} \\
k_{2} \\
\vdots \\
k_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \end{bmatrix}$
이 비자명해를 가진다. 이는 계수행렬의 행렬식이 모든 $x$에 대하여 항상 영임을 뜻한다.