일차결합과 생성(linear combination and span)

 

정의1

$V$의 벡터 $\mathbf{w}$가 다음 식과 같이 표현될 때 $\mathbf{w}$를 $V$ 내의 벡터 $ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다.

$$\mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}$$

여기서 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$은 스칼라이고, 이 스칼라를 일차결합의 계수(coefficients)라 부른다.

 

 

 

정리1

$S = \begin{Bmatrix} \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{r} \end{Bmatrix}$가 벡터공간 $V$ 내의 공집합이 아닌 벡터 집합이면

1.  $S$ 내의 벡터들의 가능한 모든 일차결합의 집합 $W$는 $V$의 부분공간이다.

2.  1.의 집합 $W$는 $S$ 내의 모든 벡터를 포함하는 $V$의 "가장작은" 부분공간이다. 즉, 이들 벡터를 포함하는 또 다른 임의의 부분공간은 $W$를 포함한다.

 

pf)

  $W$가 $S$ 내의 벡터들의 가능한 모든 일차결합 집합이라 하자.

 

  Show 1 : 덧셈에 대한 닫힘성

  $W$ 내의 두 벡터를

  $\mathbf{u} = c_{1}\mathbf{w}_{1} + c_{2}\mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{r}\mathbf{w}_{r}$,   $\mathbf{v} = k_{1}\mathbf{w}_{1} + k_{2}\mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{w}_{r}$

  이라 하자. 이들의 합은

  $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (c_{1} + k_{1})\mathbf{w}_{1} + (c_{2} + k_{2})\mathbf{w}_{2} + \cdots + (c_{r} + k_{r})\mathbf{w}_{r}$

  이므로 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$는 $W$에 포함된다.

 

  Show 2 : 스칼라 곱셈에 대한 닫힘성

  # 위와 비슷한 방법으로 증명하면 된다.

 

  $W'$을 $S$ 내의 모든 벡터를 포함하는 $V$의 부분공간이라 하자. $W'$은 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀있으므로

  $W'$은 $S$ 내의 벡터들의 모든 일차결합을 포함하므로 $W$를 포함한다.

 

 

 

정의2

공집합이 아닌 집합 $S$ 내의 벡터들의 가능한 모든 일차결합으로 이루어진, 벡터공간 $V$의 부분공간을 $S$의 생성(span of $S$)이라 하고, $S$ 내의 벡터는 부분공간을 생성한다라고 한다. 만약 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{r} \end{Bmatrix}$이면 $S$의 생성은

$\mathrm{span} \begin{Bmatrix} \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{r} \end{Bmatrix}$  또는  $\mathrm{span}(S)$

로 표시한다.

 

 

 

정리2

$n$개 변수를 가진 동차 연립방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해집합은 $\mathrm{R}^{n}$의 부분공간이다.

 

  $W$를 이 연립방정식의 해집합이라 하자. 집합 $W$는 적어도 자명해 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$을 포함하므로 공집합이 아니다.

 

  Show 1 : 덧셈에 대한 닫힘성

  $W$ 내의 두 벡터를 $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}$라 하자.

  이들 벡터는 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해이므로

  $A(\mathbf{x}_{1} + \mathbf{x}_{2}) = A\mathbf{x}_{1} + A\mathbf{x}_{2} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$

  따라서 $\mathbf{x}_{1} + \mathbf{x}_{2}$는 $W$에 포함된다.

 

  Show 2 : 스칼라 곱셈에 대한 닫힘성

  # 위와 비슷한 방법으로 증명하면 된다.

 

 

 

정리3

$S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \end{Bmatrix}$과 $S' = \begin{Bmatrix} \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{k} \end{Bmatrix}$를 벡터공간 $V$에 속하는 벡터들의 공집합이 아닌 집합이라 하면,

$$\mathrm{span} \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \end{Bmatrix} = \mathrm{span} \begin{Bmatrix} \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{k} \end{Bmatrix} $$

이기 위한 필요충분조건은 $S$의 각 벡터가 $S'$의 벡터들의 일차결합이고, 역으로 $S'$의 각 벡터가 $S$의 벡터들의 일차결합이 되는 것이다.

 

  $\mathrm{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \right\} = W$,   $\mathrm{span}\left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{k} \right\} = W'$이라 하자.

 

  $\Rightarrow)$

  $i = 1, 2, \cdots, r$에 대하여 $v_{i} \in W=W'$이므로 $S'$의 벡터들의 일차결합이고 마찬가지로

  $j = 1, 2, \cdots, k$에 대하여 $w_{j} \in W'=W$이므로 $S$의 벡터들의 일차결합이다.

 

  $\Leftarrow)$

  $\mathbf{v}_{1} = c_{11}\mathbf{w}_{1} + c_{12}\mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{1k}\mathbf{w}_{k}$

  $\mathbf{v}_{2} = c_{21}\mathbf{w}_{1} + c_{22}\mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{2k}\mathbf{w}_{k}$

  $\vdots$

  $\mathbf{v}_{r} = c_{r1}\mathbf{w}_{1} + c_{r2}\mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{rk}\mathbf{w}_{k}$

  그리고

  $\mathbf{w}_{1} = d_{11}\mathbf{v}_{1} + d_{12}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{1r}\mathbf{v}_{r}$

  $\mathbf{w}_{2} = d_{21}\mathbf{v}_{1} + d_{22}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{2r}\mathbf{v}_{r}$

  $\vdots$

  $\mathbf{w}_{k} = d_{k1}\mathbf{v}_{1} + d_{k2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{kr}\mathbf{v}_{r}$

  이라 하자.

 

  Suppose 1 : $\mathbf{x} \in W$

  $\mathbf{x} \in W$이므로

  $\mathbf{x} = a_{1}\mathbf{v}_{1} + a_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{r}\mathbf{v}_{r}$

  의 형태로 표현된다. 즉,

  $\mathbf{x} = (a_{1}c_{11} + \cdots + a_{r}c_{r1})\mathbf{w}_{1} + (a_{1}c_{12} + \cdots + a_{r}c_{r2})\mathbf{w}_{2} + \cdots + (a_{1}c_{1k} + \cdots + a_{r}c_{rk})\mathbf{w}_{k} $

 

  $\mathbf{x}$는 $S'$의 각 벡터들의 일차결합으로 표현되므로 $\mathbf{x} \in W'$이다.

  $\therefore$  $W \subset W'$

 

  Suppose 2 : $\mathbf{x} \in W'$

  $\mathbf{x} \in W'$이므로

  $\mathbf{x} = a_{1}\mathbf{w}_{1} + a_{2}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{k}\mathbf{w}_{k}$

  의 형태로 표현된다. 즉,

  $\mathbf{x} = (a_{1}d_{11} + \cdots + a_{k}d_{k1})\mathbf{v}_{1} + (a_{1}d_{12} + \cdots + a_{k}d_{k2})\mathbf{v}_{2} + \cdots + (a_{1}d_{1r} + \cdots + a_{k}d_{kr})\mathbf{v}_{r} $

 

  $\mathbf{x}$는 $S$의 각 벡터들의 일차결합으로 표현되므로 $\mathbf{x} \in W$이다.

  $\therefore$  $W' \subset W$

 

  $\therefore$  $W = W'$