축소구간 정리(nested intervals theorem)
해석학에서 중요한 정리 중 하나에는 축소구간 정리가 있다.
축소구간 정리(nested intervals theorem)
폐구간열 $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$이 임의의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \leq b_{n}$, $I_{n} \supset I_{n+1} $을 만족할 때 $\bigcap_{n=1}^{\infty } I_{n} \neq \varnothing$이다.
$\forall n, m \in \mathbb{N}, \; a_{n} \leq b_{m}$이다. ①
$(\because \; a_{n} \leq a_{n+m} \leq b_{n+m} \leq b_{m})$
$E = \left\{a_{n} \; | \; n \in \mathbb{N} \right\}$이라 하자.
$\forall a_{n} \in E, \; a_{n} \leq b_{1}$이므로 집합$E$는 위로 유계이다.
$\therefore$ 최소상계 $\alpha $존재
①에 의해 $\forall m \in \mathbb{N}, \; \forall a_{n}\in E, \; a_{n} \leq b_{m}$이므로 $b_{m}$은 집합$E$의 상계이다.
$\alpha $는 집합$E$의 최소상계이므로 $\forall m \in N, \; \alpha \leq b_{m}$이다.
$\therefore \; \, \forall n \in N, \; a_{n} \leq \alpha \leq b_{n}$
$\therefore \; \, \alpha \in \bigcap_{n=1}^{\infty }I_{n} \neq \varnothing $
축소구간 정리가 중요한 이유중 하나는 바로 완비성공리와 동치인 명제이기 때문이다.
즉, 축소구간 정리 $\Leftrightarrow $ 완비성공리 이다.
이를 증명하기위해서는 위에서 축소구간 정리 $\Leftarrow$ 완비성공리를 증명하였으므로 축소구간 정리 $\Rightarrow$ 완비성공리만 증명하면 된다.
임의의 유계인 집합$E$에 대해 집합$E$의 하계를 $a$, 상계를 $b$라 하고
이때 $I_{1} = [a,b] = [a_{1},b_{1}]$라 하자.
$c_{1} = \frac{a_{1}+b_{1}}{2}$라 할 때
if $c_{1}$이 집합$E$의 상계이면
$\quad I_{2} = [a_{1},c_{1}] = [a_{2},b_{2}]$
else
$\quad I_{2} = [c_{1},b_{1}] = [a_{2},b_{2}]$
라 하자. $I_{2} = [a_{2},b_{2}]$에 대하여도 똑같은 방법을 적용하여 $I_{3}$를 얻는다. 이 작업을 계속 반복한다.
그러면 $\forall n \in N, \; I_{n} = [a_{n},b_{n}]$에 대하여 $a_{n}$은 집합$E$의 상계가 아니고 $b_{n}$은 집합$E$의 상계이다.
또한 $\left| I_{n+1} \right| = \frac{\left| I_{n} \right|}{2}$ 이다. (이때 $\left| I_{n} \right|$은 구간 $I_{n} $의 길이다.) 즉, $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left| I_{n} \right| = 0$
임의의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \leq b_{n}$, $I_{n} \supset I_{n+1} $을 만족하므로 축소구간 정리에 의해$\bigcap_{n=1}^{\infty } I_{n} \neq \varnothing$이다.
$\bigcap_{n=1}^{\infty } I_{n} $의 한 원소를 $\alpha $라 하자.
Show 1 : $\alpha $가 유일함을 보이자
가정) $\alpha _{1}, \alpha _{2} \in \bigcap_{n=1}^{\infty } I_{n}, \; \alpha _{1} < \alpha _{2}$
$\alpha _{2} - \alpha _{1} = d \, ( > 0)$라 하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left| I_{n} \right| = 0$이므로
$\exists N \! \in \! \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; \left|I_{N} \right| < \frac{d}{2}$
그러나 $\alpha _{1}, \alpha _{2} \in I_{N}$이므로 $d \leq \left|I_{N} \right| $ 이는 모순이다.
$\therefore \; \alpha _{1} = \alpha _{2}$
Show 2 : $\alpha $가 집합 $E$의 상계임을 보이자
가정) $\exists x \in E \;\; s.t. \;\; \alpha < x$
$x - \alpha = d \, ( > 0)$라 하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left| I_{n} \right| = 0$이므로
$\exists N \! \in \! \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; \left|I_{N} \right| < \frac{d}{2}$
$\alpha \in I_{N}, \; x - \alpha = d$이므로
$a_{N} \leq \alpha \leq b_{N} < x$
그러나 $b_{N}$은 집합$E$의 상계이므로 이는 모순이다.
$\therefore \; \alpha $는 집합$E$의 상계이다.
Show 3 : $\alpha $가 집합 $E$의 최소상계임을 보이자
$\forall \varepsilon > 0,$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left| I_{n} \right| = 0$이므로
$\exists N \! \in \! \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; \left|I_{N} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$
$\alpha \in I_{N} = [a_{N}, b_{N}], \; \left|I_{N} \right| < \frac{\varepsilon }{2} $이므로
$\alpha -\varepsilon < a_{N} \leq \alpha $
$a_{N}$은 집합$E$의 상계가 아니므로
$\exists x \in E \;\; s.t. \;\; a_{N} < x \leq \alpha $
$\therefore \, \forall \varepsilon > 0, \; \exists x \in E \;\; s.t. \;\; \alpha -\varepsilon < x \leq \alpha $
$\therefore$ $\alpha $는 집합$E$의 최소상계