$R^{n}$에서의 놈, 거리

 

정의1

$\mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n})$이 $R^{n}$의 벡터일 때, $\mathbf{v}$의 놈(norm)($\mathbf{v}$의 길이 또는 $\mathbf{v}$의 크기)은 $\left\|\mathbf{v} \right\| $로 표기하고, 다음의 식으로 정의한다.

$$\left\|\mathbf{v} \right\| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \cdots +v_{n}^{2}}$$

 

 

 

정리1

$\mathbf{v}$가 $R^{n}$의 벡터이고 $k$가 임의의 스칼라이면,

1.  $\left\|\mathbf{v} \right\| \geq 0$

2.  $\left\|\mathbf{v} \right\| = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\left\|\mathbf{v} \right\| = 0$이다.

3.  $\left\|k\mathbf{v} \right\| = \left|k \right| \left\|\mathbf{v} \right\|$

 

# 증명은 단순계산으로 구할 수 있으므로 생략한다.

 

 

 

정의2

놈이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다. 따라서 $\mathbf{v}$가 $R^{n}$의 영이 아닌 벡터라면

$$\mathbf{u} = \frac{1}{\left\|\mathbf{v} \right\|}\mathbf{v}$$

는 $\mathbf{v}$와 같은 방향을 갖는 단위벡터로 정의된다. 단위벡터를 얻기 위해 영이 아닌 벡터에 자신의 길이의 역수를 곱하는 과정을 $\mathbf{v}$의 정규화(normalizing $\mathbf{v}$)라고 부른다.

 

 

 

정의3

$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n}), \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n})$가 $R^{n}$ 상의 점일 때, $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 사이의 거리(distance)는 $d(\mathbf{u}, \mathbf{v})$로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

$$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\| = \sqrt{(u_{1} - v_{1})^{2} + (u_{2} - v_{2})^{2} + \cdots + (u_{n} - v_{n})^{2}} $$