n차원 공간에서의 벡터

 

기하적 벡터

공학자와 물리학자들은 2차원 공간(2-공간) 또는 3차원 공간(3-공간)에서의 벡터를 화살표로 표시한다. 화살표 방향이 벡터의 방향을, 화살표의 길이가 벡터의 크기(magnitude)를 나타낸다. 수학자들은 이들을 기하적 벡터(mangnitude)라 부른다.

화살표의 시작부분을 벡터의 시점 그리고 끝부분을 벡터의 종점이라 부른다. 길이와 방향이 같은 벡터들을 동등(equivalent)하다고 한다. 시점과 종점이 같은 벡터의 길이는 영이므로 영벡터(zero vector)라고 부르고 $\mathbf{0} $이라는 기호를 나타낸다.

 

 

 

정의1

$n$이 양의 정수일 때, $n$중 순서쌍(ordered $n$-tuple)은 $n$개의 실수로 이루어진 $(v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n})$이다. 모든 $n$중 순서쌍들의 집합을 $n$-공간이라 하고 $R^{n}$으로 나타낸다.

 

 

 

정의2

$\mathbf{0} = (0, 0, \cdots, 0)$을 영벡터(zero vector)라고 부른다.

 

 

 

정의3

$R^{n}$상의 벡터 $\mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n}), \mathbf{w} = (w_{1}, w_{2}, \cdots , w_{n})$에 대하여, 

$$v_{1} = w_{1}, \quad v_{2} = w_{2}, \quad \cdots , \quad v_{n} = w_{n}$$

이면 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$는 동등하다(또는 같다)고 하고 $\mathbf{v} = \mathbf{w}$

 

 

 

정의4

$\mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n}), \mathbf{w} = (w_{1}, w_{2}, \cdots , w_{n})$이 $R^{n}$의 벡터이고 $k$가 임의의 스칼라라고 할 때, 다음과 같이 정의한다.

                                           $\mathbf{v} + \mathbf{w} = (v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, \cdots , v_{n} + w_{n})$

                                           $k\mathbf{v} = (kv_{1}, kv_{2}, \cdots , kv_{n})$

                                           $-\mathbf{v} = (-v_{1}, -v_{2}, \cdots , -v_{n})$

                                           $\mathbf{w} - \mathbf{v} = \mathbf{w} + ( - \mathbf{v}) = (w_{1} - v_{1}, w_{2} - v_{2}, \cdots , w_{n} - v_{n})$

 

 

 

정리1

$R^{n}$상의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$와 스칼라 $k, m$에 대하여 다음의 성질들이 성립한다.

1.  $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

2.  $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$

3.  $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}$

4.  $\mathbf{u} + ( - \mathbf{u}) = \mathbf{0}$

5.  $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$

6.  $(k+m)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + m\mathbf{u}$
7.  $k(m\mathbf{u}) = (km)\mathbf{u}$

8.  $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

 

# 증명은 단순 계산으로 얻을 수 있으므로 생략한다.

 

 

 

정리2

$\mathbf{v}$가 $R^{n}$상의 벡터이고 $k$가 스칼라이면,

1.  $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$

2.  $k\mathbf{0} = \mathbf{0}$

3.  $(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}$

 

# 증명은 단순 계산으로 얻을 수 있으므로 생략한다.

 

 

 

정의5

$R^{n}$의 벡터 $\mathbf{w}$가 임의의 스칼라 $k_{1}, k_{2}, \cdots ,k_{r}$에 대하여

$$\mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}$$

의 형태로 쓰여지면, $\mathbf{w}$를 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots , \mathbf{v}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다. 이때 스칼라들을 일차결합의 계수(coefficient)라 부른다. $r=1$인 경우, $\mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1}$이 되므로 한 벡터의 일차결합은 단지 그 벡터의 스칼라 배수임을 알 수 있다.