집적점(accumulation point)

 

정의1

다음을 만족하는 점$x$를 집합 $E$의 집적점(accumulation point)이라 한다.

$$\forall \varepsilon >0, \; N( x,\varepsilon)\cap E \setminus \left\{x \right\}\neq \varnothing$$

($E\setminus \left\{x \right\}$는 집합$E$에서 점$x$를 뺀 집합을 의미한다.)

 

 

이러한 집합$E$의 집적점은 꼭 집합$E$의 원소가 아니여도 된다.

집합 $E$의 집적점 집합을 $E'$이라 표시한다.

 

ex)

$E=\left\{ \frac{1}{n} \; | \; n \in \mathbb{N}\right\}$이라 하면 $E'=\left\{0 \right\}$

$E=\left ( 0,1 \right )$ 이라 하면 $E'=\left [ 0,1 \right ]$   (※ $E\subset E' $일 수도 있다.)

 

 

 

집적점에는 다음과 같은 중요한 성질이 하나 있다.

 

정리1

점 $x \in \mathbb{R}$가 집합 $E \subset \mathbb{R} $의 집적점일 필요충분조건은 각 자연수 $n$에 대하여 부등식

$$0 < \left|x - a_{n} \right| < \frac{1}{n}$$

을 만족시키는 $E$에서의 점열 $\left<a_{n} \right> $이 존재하는 것이다. 즉, 

$x \in E' $    $\Leftrightarrow$    $\exists \left<a_{n} \right> \;\; s.t. \;\; (\forall n \in \mathbb{N}, \; a_{n} \in E, \; 0 < \left|x - a_{n} \right| < \frac{1}{n})$

 

증명

$\Rightarrow )$

  $\forall n \in \mathbb{N},$ $\varepsilon = \frac{1}{n}(>0)$이라 하자. 점 $x$는 집합$E$의 집적점이므로

  $\exists a_{n} \;\; s.t. \;\; a_{n} \in N(x, \frac{1}{n}) \cap E \setminus \left\{x \right\}$

  $a_{n} \in N(x, \frac{1}{n})$이고 $a_{n} \neq x$이므로

  $0 < \left|x - a_{n} \right| < \frac{1}{n}$

  이다. 또한 $a_{n} \in E \setminus \left\{x \right\}$이므로 $a_{n} \in E$이다.

  $\therefore \; \exists \left<a_{n} \right> \;\; s.t. \;\; (\forall n \in \mathbb{N}, \; a_{n} \in E, \; 0 < \left|x - a_{n} \right| < \frac{1}{n})$

 

$\Leftarrow )$

  가정으로부터

  $ \exists \left<a_{n} \right> \;\; s.t. \;\; (\forall n \in \mathbb{N}, \; a_{n} \in E, \; 0 < \left|x - a_{n} \right| < \frac{1}{n})$

  $\forall \varepsilon >0,$

  $\exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; \frac{1}{N} < \varepsilon $

  (완비성공리-아르키메데스의 원리편 참고)

  

  즉, $a_{N} \neq x$이므로 $a_{N} \in E \setminus \left\{x \right\}$이다.

  또한 $\frac{1}{N} < \varepsilon $이므로 $N(x, \frac{1}{N}) \subset N(x, \varepsilon )$이다.

  즉, $a_{N} \in N(x, \frac{1}{N}) \subset N(x, \varepsilon )$이므로 $a_{N} \in N(x, \varepsilon )$이다. 

  $\therefore \; a_{N} \in N( x,\varepsilon)\cap E \setminus \left\{x \right\}$

  $\therefore$  $x \in E' $

 

 

 

이후 증명에 쓰일 정리 하나를 더 알아보자.

 

정리 2 

$x \in E' \; \Leftrightarrow \; \forall \varepsilon >0, \; N( x,\varepsilon)\cap E \setminus \left\{x \right\}$는 무한집합

 

증명

$\Rightarrow  )$

  $x$가 $E$의 집적점이므로 

  $\exists x_{0} \;\; s.t. \;\; x_{0} \in N(x, \varepsilon ) \cap E \setminus \left\{x \right\}$

  (즉, $\exists x_{0} \in E \;\; s.t. \;\; 0 < \left|x - x_{0} \right| < \varepsilon $)

 

  $\left|x -x_{0} \right| > 0$이므로 

  $\exists \varepsilon_{1} \;\; s.t. \;\; 0 < \varepsilon_{1}< \left|x -x_{0} \right| $

 

  $x$가 $E$의 집적점이므로 

  $\exists x_{1} \;\; s.t. \;\; x_{1} \in N(x, \varepsilon_{1} ) \cap E \setminus \left\{x \right\}$

  (즉, $\exists x_{1} \in E \;\; s.t. \;\; 0 < \left|x - x_{1} \right| < \varepsilon $)

  이때 $\varepsilon _{1} < \left|x - x_{1} \right| < \varepsilon $이므로 $N(x, \varepsilon_{1} ) \subset N(x, \varepsilon )$이다. 즉,

$N(x, \varepsilon_{1} ) \cap E \setminus \left\{x \right\} \subset N(x, \varepsilon ) \cap E \setminus \left\{x \right\}  $

  $\therefore \; x_{1} \in N(x, \varepsilon ) \cap E \setminus \left\{x \right\} $

 

  위 과정을 반복하면 $\forall k \in \mathbb{N}$에 대하여 $\exists \varepsilon_{k} \;\; s.t. \;\; 0 < \varepsilon_{k}< \left|x -x_{k-1} \right| $ 이고 $\exists x_{k} \;\; s.t. \;\; x_{k} \in N(x, \varepsilon_{k} ) \cap E \setminus \left\{x \right\}$이다. 위와 같은 논법으로 $x_{k} \in N(x, \varepsilon ) \cap E \setminus \left\{x \right\} $이다. 

  $\therefore \; \left\{x_{k} \; | \; k \in \mathbb{N} \right\} \subset N(x, \varepsilon ) \cap E \setminus \left\{x \right\} $

  $\therefore \; N(x, \varepsilon ) \cap E \setminus \left\{x \right\}  $는 무한집합

 

$\Leftarrow ) $

  $\forall \varepsilon >0, \; N( x,\varepsilon)\cap E \setminus \left\{x \right\}$는 무한집합 이면 명백히 $\forall \varepsilon >0, \; N( x,\varepsilon)\cap E \setminus \left\{x \right\}\neq \varnothing$이므로 $x$는 $E$의 집적점이다.

  $\therefore \; x \in E'$