행렬의 성질

 

열벡터와 행벡터에 의한 행렬 곱셈

크기가 각각 $m \times r, r \times n$인 행렬 $A, B$에 대하여 행렬의 곱 $AB$를 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$AB = A \begin{bmatrix}
\mathbf{b_{1}} & \mathbf{b_{2}} & \cdots & \mathbf{b_{n}} \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
A\mathbf{b_{1}} & A\mathbf{b_{2}} & \cdots & A\mathbf{b_{n}} \\
\end{bmatrix} $$

($AB$는 열별로 계산되었다.)

$$AB = \begin{bmatrix}
\mathbf{a}_{1} \\
\mathbf{a}_{2} \\
\vdots \\
\mathbf{a}_{m} \end{bmatrix}B
= \begin{bmatrix}
\mathbf{a}_{1}B \\
\mathbf{a}_{2}B \\
\vdots \\
\mathbf{a}_{m}B \end{bmatrix} $$

($AB$는 행별로 계산되었다.)

즉,

$AB$의 $j$번째 열 $=A$[$B$의 $j$번째 열벡터]

$AB$의 $i$번째 행 $=$[$A$의 $i$번째 행벡터]$B$

 

 

 

행렬 연산의 성질

행렬들이 아래 연산들을 실행될 수 있는 크기를 갖는다고 하자.

1. $A + B = B + A$

2. $A + (B + C) = (A + B) + C$

3. $A(BC) = (AB)C$

4. $A(B+C) = AB + AC$

5. $(B+C)A = BC + BA$

6. $A(B-C) = AB - AC$

7. $(B-C)A = BA - CA$

8. $a(B+C) = aB + aC$

9. $a(B-C) = aB - aC$

10. $(a+b)C = aC + bC$

11. $(a-b)C = aC - bC$

12. $a(bC) = (ab)C$

13. $a(BC) = (aB)C = B(aC)$

 

# 증명생략

 

 

 

영행렬의 성질

$c$가 스칼라이고 행렬들은 연산을 실행할 수 있는 크기를 갖는다고 하자.

1. $A + O = O + A = A$

2. $A - O = A$

3. $A - A = A + (-A) = O$

4. $OA = O$

5. $cA = O$이면 $c=0$ 또는 $A=O$이다.

 

# 증명생략

 

 

 

정리1

만약 $R$이 $n \times n$ 행렬 $A$의 기약 행사다리꼴이면 $R$은 $0$으로만 된 행을 갖든가 아니면 행렬 $I_{n}$이다.

 

# 증명생략

 

 

 

전치행렬의 성질

1. $(A^{T})^{T} = A$

2. $(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T}$

3. $(A-B)^{T} = A^{T} - B^{T}$

4. $(kA)^{T} = kA^{T}$

5. $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$

 

# 증명생략