행렬식의 성질
정리1
$A, B, C$가 제 $r$행 한 행만이 다른 $n \times n$ 행렬이라 하자. $C$의 제 $r$행은 $A, B$의 제 $r$행의 대응하는 원소들을 더하여 얻어진 것이라 가정하면,
$\det(C) = \det(A) + \det(B)$
이다. 같은 결과는 열에 대해서도 성립한다.
제 $r$행에 의한 여인수 전개에 의하여
$\det(C) = (a_{r1} + b_{r1})C_{r1} + (a_{r2} + b_{r2})C_{r2} + \cdots + (a_{rn} + b_{rn})C_{rn} $
$= a_{r1}C_{r1} + a_{r2}C_{r2} + \cdots + a_{rn}C_{rn} + b_{r1}C_{r1} + b_{r2}C_{r2} + \cdots + b_{rn}C_{rn} $
$= \det(A) + \det(B)$
정리2
$B$가 $n \times n$ 행렬, $E$가 $n \times n$ 기본행렬이면, $\det(EB) = \det(E) \det(B)$이다.
Case 1 : $E$가 $I_{n}$의 한 행에 $k$를 곱하여 얻어진 기본행렬
$\det(EB) = k\det(B) = \det(E) \det(B)$
(행렬-기본행렬편 정리1, 행렬-행축소에 의한 행렬식 계산 정리4 참고)
Case 2 : $E$가 $I_{n}$의 두행을 교환하여 얻어진 기본행렬
$\det(EB) = -\det(B) = \det(E) \det(B)$
Case 3 : $E$가 $I_{n}$의 한행의 상수 배를 다른 행에 더하여 얻어진 기본행렬
$\det(EB) = \det(B) = \det(E) \det(B)$
정리3
정방행렬 $A$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $\det(A) \neq 0$이다.
$R$을 $A$의 기약 행사다리꼴이라 하자.
$E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{r}$을 $A$로부터 $R$을 만들 때 사용한 기본 행연산에 대응하는 기본행렬이라 하자. 그러면
$R = E_{r} \cdots E_{2} E_{1}A$
이고 위의 정리2에 의해
$\det(R) = \det(E_{r}) \cdots \det(E_{2}) \det(E_{1}) \det(A)$
이다. 기본행렬의 행렬식은 $0$이 아니므로 $\det(R)$과 $\det(A)$는 둘 다 $0$이거나 둘 다 $0$이 아니다.
$A$가 가역이면 $R = I$이므로 $\det(R) = 1$이다. 즉, $\det(A) \neq 0$이다.
(가역과 동등한 명제들 1편 참고)
$\det(A) \neq 0$이면 $\det(R) \neq 0 $이므로 $R$은 영행을 가질 수 없다.
$\therefore$ $A$는 가역이다.
(연립일차방정식-행렬의 성질편 정리1 참고)
정리4
$A, B$가 같은 크기의 정방행렬이라면,
$\det(AB) = \det(A) \det(B)$
이다.
Case 1 : $A$는 가역이 아니다.
$A$가 가역이 아니므로 $AB$도 가역이 아니다. 즉, $\det(AB) = 0$, $\det(A) = 0$
$\therefore$ $\det(AB) = \det(A) \det(B)$
Case 2 : $A$는 가역이다.
$A$는 가역이므로 $A$는 기본행렬들의 곱으로 쓰여진다. 즉,
$A = E_{1}E_{2} \cdots E_{r}$
이므로
$AB = E_{1}E_{2} \cdots E_{r}B$
이다. 따라서 위의 정리2에 의하여
$\det(AB) = \det(E_{1}) \det(E_{2}) \cdots \det(E_{r}) \det(B)$
$= \det(E_{1}E_{2} \cdots E_{r}) \det(B)$
$= \det(A) \det(B)$
정리5
$A$가 가역행렬이면,
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
이다.
$A^{-1}A = I$이므로 $\det(A^{-1}A) = \det(I)$이다. 즉, $\det(A^{-1}) \det(A) = 1$이다.
$A$가 가역행렬이므로 $\det(A) \neq 0$이다.
$\therefore$ $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$