행축소에 의한 행렬식 계산
정리1
정방행렬 $A$가 영 행 또는 영 열을 갖는다면 $\det(A) = 0$이다.
$A$의 행렬식은 임의의 행 또는 열에 의한 여인수 전개에 의해 구할 수 있기 때문에,
여기서 영 행 또는 영 열을 선택한다. $C_{1}, C_{2}, \cdots , C_{n}$을
선택한 행 또는 열을 따라 얻어지는 $A$의 여인수라 하면
$\det(A) = 0 \cdot C_{1} + 0 \cdot C_{2} + \cdots + 0 \cdot C_{n} = 0$
이다.
정리2
정방행렬 $A$에 대하여, $\det(A) = \det(A^{T})$
행렬을 전치시키는 것은 행을 열로 열을 행으로 바꾸는 것이기 때문에,
임의의 행에 의한 $A$의 여인수 전개는 대응하는 열에 의한 $A^{T}$의 여인수 전개와 같다.
그러므로 $A$와 $A^{T}$는 같은 행렬식을 갖는다.
정리3
$A$가 $n \times n$ 행렬이라 하자.
1. $B$가 $A$의 한 행 또는 열에 스칼라 $k$를 곱해서 얻은 행렬이라면, $\det(B) = k\det(A)$이다.
2. $B$가 $A$의 두 행 또는 열을 교환해서 얻은 행렬이라면, $\det(B) = -\det(A)$이다.
3. $B$가 $A$의 한 행(또는 열)의 상수 배를 다른 행(또는 열)에 더해서 얻은 행렬이라면, $\det(B) = \det(A)$이다.
pf)
$B$가 $A$의 $i$번째 행에 스칼라 $k$를 곱해서 얻은 행렬이라면 제 $i$행에 의한 여인수 전개에 의해
$\det(B) = ka_{i1}C_{i1} + ka_{i2}C_{i2} + \cdots + ka_{in}C_{in}$
$= k(a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} )$
$= k \det(A)$
# 열도 비슷한 방법으로 증명하면 된다.
Case 1 : $B$가 $A$의 $i$번째 행과 인접한 행 $i+1$번째 행을 교환해서 얻은 행렬이라 하자.
제 $i+1$행에 의한 여인수 전개에 의해
$\det(B) = a_{i1}(-1)^{i+2}M'_{i+1 \; 1} + a_{i2}(-1)^{i+3}M'_{i+1 \; 2} + \cdots + a_{in}(-1)^{i+n+1}M'_{i+1 \; n}$
$=(-1) \left\{ a_{i1}(-1)^{i+1}M_{i \; 1} + a_{i2}(-1)^{i+2}M_{i \; 2} + \cdots + a_{in}(-1)^{i+n}M_{i \; n} \right\} $
$= - \det(A)$
Case 2 : $B$가 $A$의 $i$번째 행과 $j$번째 행을 교환해서 얻은 행렬이라 하자.
WLOG, WMA $i < j$
$i$번째 행과 $j$번째 행의 교환을 인접한 행끼리의 교환들로 실행할 수 있다.
먼저 $i$행을 $j$행 밑으로 내린다. 이때 인접한 행끼리의 교환을 $j-i$번 실행된다.
그 후 $j$행 이었던 행을 $i$행 위치로 옮긴다. 이때 인접한 행끼리의 교환을 $j-i-1$번 실행된다.
즉, 인접한 행끼리의 교환은 총 $2(j-i) - 1$번 실행되고 이는 홀수다.
$\therefore$ $\det(B) = -\det(A)$
# 열도 비슷한 방법으로 증명하면 된다.
$B$가 $A$의 $j$번째 행의 상수배를 $i$번째 행에 더해서 얻은 행렬이라 하자.
제 $i$번째 행에 의한 여인수 전개에 의하여
$\det(B) = (a_{i1}+ka_{j1})C_{i1} +(a_{i2} + ka_{j2})C_{i2} + \cdots + (a_{in} + ka_{jn})C_{in}$
$= (a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}) + k(a_{j1}C_{i1} + a_{j2}C_{i2} + \cdots + a_{jn}C_{in} )$
이때 $a_{j1}C_{i1} + a_{j2}C_{i2} + \cdots + a_{jn}C_{in}$는 $i$번째 행과 $j$번째 행이 같은 행렬의 행렬식이다.
이 행렬을 $D$라 하자. 이때 $D$의 $i$번째 행과 $j$번째 행을 바꾸어도 $D$의 행렬은 바뀌지 않는다.
즉, $\det(D) = - \det(D)$이므로 $\det(D) = 0$이다.
$\therefore$ $\det(B) = \det(A)$
# 열도 비슷한 방법으로 증명하면 된다.
따름정리
$E$가 $n \times n$ 행렬이라 하자.
1. $E$가 $I_{n}$의 한 행에 영이 아닌 스칼라 $k$를 곱해서 얻은 기본행렬이라면, $\det(E) = k$이다.
2. $E$가 $I_{n}$의 두 행을 교환하여 얻은 기본행렬이라면, $\det(E) = -1$이다.
3. $B$가 $I_{n}$의 한 행의 상수 배를 다른 행에 더해서 얻은 기본행렬이라면, $\det(E) = 1$이다.
정리4
$A$가 두 비례하는 행 또는 열을 갖는 정방행렬이라면, $\det(A) = 0$이다.
정리3-3을 이용해 한 행 또는 열을 영행 또는 영열로 만들 수 있다.
$\therefore$ $\det(A) = 0$