대각행렬, 삼각행렬, 대칭행렬

 

대각행렬

주대각선 이외의 모든 원소들이 $0$인 정방행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라고 한다.

 

특히 행렬 $A$의 왼쪽에 대각행렬 $D$를 곱하면 $A$의 행에 순차적으로 $D$의 원소들이 곱해지고

행렬 $A$의 오른쪽에 대각행렬 $D$를 곱하면 $A$의 열에 순차적으로 $D$의 원소들이 곱해진다.

 

 

 

하삼각행렬

주대각선 위쪽의 모든 원소가 $0$인 정방행렬을 하삼각행렬(lower triangular)이라고 한다.

 

 

 

상삼각행렬

주대각선 아래쪽의 모든 원소가 $0$인 정방행렬을 상삼각행렬(upper triangular)이라고 한다.

 

 

 

대칭행렬

정방행렬 $A$가 $A = A^{T}$일 때 대칭행렬(symmetric)이라고 한다.

 

 

 

정리1

$A$와 $B$가 크기가 같은 대칭행렬이고 $k$는 임의의 스칼라이면

1. $A^{T}$는 대칭행렬이다.

2. $A+B$와 $A-B$는 대칭행렬이다.

3. $kA$는 대칭행렬이다.

 

pf)

  $(A^{T})^{T} = A = A^{T} $이므로 $A^{T}$는 대칭행렬이다.

 

  $(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B$이고 $(A-B)^{T} = A^{T} - B^{T} = A - B$이므로

  $A+B$와 $A-B$는 대칭행렬이다.

 

  $(kA)^{T} = kA^{T} = kA$이므로 $kA$는 대칭행렬이다.

 

 

 

정리2

두 대칭 행렬의 곱이 대칭이기 위한 필요충분조건은 두 행렬이 교환 가능해야 한다.

 

  $(AB)^{T} = B^{T}A^{T} = BA$이므로 $(AB)^{T} = AB  \; \Leftrightarrow \; BA = AB$이다.

 

 

 

정리3

$A$가 가역인 대칭행렬이면 $A^{-1}$도 대칭행렬이다.

 

  $(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1} = A^{-1}$

  (행렬-역행렬편 정리4 참고)

 

 

 

정리4

$A$가 가역행렬이면 $A^{T}A$와 $AA^{T}$도 가역이다.

 

  $A$가 가역이기 때문에 $A^{T}$도 가역이다. 그러므로 가역인 두 행렬의 곱은 가역이다.