가역과 동등한 명제들 2

 

정리1

$A$가 $n \times n$행렬이면, 다음 명제들은 동등하다.

$(1)$ $A$는 가역이다.

$(2)$ $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $은 자명해만을 갖는다.

$(3)$ $A$의 기약 행사다리꼴은 $I_{n}$이다.

$(4)$ $A$는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.

$(5)$ $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $는 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b} $에 대해서 유일해를 갖는다.

$(6)$ $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $는 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b} $에 대해서 일치한다.

 

  $(1), (2), (3), (4)$는 동등함을 보였으므로 $(1) \Rightarrow (5) \Rightarrow (6) \Rightarrow (1) $임을 보임으로써 동등함을 증명한다.

 

  $(1) \Rightarrow (5) \; )$

  행렬-연립일차방정식과 역행렬편 정리2에서 이미 증명되었다.

 

  $(5) \Rightarrow (6) \; )$

  $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $가 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b} $에 대해서 유일해를 가지므로

  $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $는 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b} $에 대해서 일치한다.

 

  $(6) \Rightarrow (1) \; )$

  $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $가 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b} $에 대해서 일치하므로 특별히 다음에 대해서도 일치한다.

  $$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}, \; A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}, \; \cdots, \; A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{bmatrix}$$

  $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots ,\mathbf{x}_{n}$을 각각의 대응되는 연립방정식의 해라고 하고 이들을 열로 구성하는 $n \times n$ 행렬을 $C$라 하자.

  즉, $$C = \begin{bmatrix} 
\mathbf{x}_{1} \;\; | & \! \mathbf{x}_{2} \;\; | & \! \cdots \;\; | & \! \mathbf{x}_{n} \\
\end{bmatrix}$$

  따라서 $AC$의 열들은 다음과 같다.

  $$A\mathbf{x}_{1}, A\mathbf{x}_{2}, \cdots , A\mathbf{x}_{n}$$

  그러므로

  $$AC = \begin{bmatrix} 
A\mathbf{x}_{1} \;\; | & \! A\mathbf{x}_{2} \;\; | & \! \cdots \;\; | & \! A\mathbf{x}_{n} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{bmatrix} = I$$

  이다. 따라서 $C = A^{-1}$이다. 즉, $A$는 가역이다.

  (행렬-연립일차방정식과 역행렬편 정리3 참고)