연립일차방정식과 역행렬

 

정리1

연립일차방정식은 해가 없거나 하나의 해를 갖거나 무수히 많은 해를 갖는다. 다른 가능성은 없다.

 

  만약 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $가 연립일차방정식이면 정확히 다음중의 하나가 참이다.

  (1) 해가 없다.             (2) 정확히 하나의 해를 갖는다.             (3) 하나 이상의 해를 갖는다.

  그러므로 (3)의 경우 무수히 많은 해를 갖는다는 것을 보이면된다.

 

  $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $가 하나 이상의 해를 갖는다고 하자. $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} $는 서로 다른 해이고 $\mathbf{x}_{0} = \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2} $라 하자.

  $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} $는 서로 다르므로 $\mathbf{x}_{0}$는 $\mathbf{0}$이 아니다. 이때

  $A\mathbf{x}_{0} = A(\mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}) = A\mathbf{x}_{1} - A\mathbf{x}_{2} = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}$

  이다. 따라서 $k$를 임의의 스칼라라고 하면 

  $A(\mathbf{x}_{1} + k\mathbf{x}_{0}) = A\mathbf{x}_{1} + A(k\mathbf{x}_{0}) = A\mathbf{x}_{1} + k(A\mathbf{x}_{0}) = \mathbf{b} + k\mathbf{0} = \mathbf{b}$

  이다. 이는 $\mathbf{x}_{1} + k\mathbf{x}_{0}$이 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 해임을 말한다. $\mathbf{x}_{0}$는 $\mathbf{0}$이 아니고 $k$는 무수히 많은 선택을 할 수 있으므로

  $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $는 무수히 많은 해를 갖는다.

 

 

 

정리2

$A$가 $n \times n$이고 가역인 행렬이면 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 연립일차방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $는 유일해 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} $를 갖는다.

 

  $A(A^{-1}\mathbf{b}) = \mathbf{b}$이므로 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} $는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 해이다.

  이것이 유일해임을 보이기 위하여 임의의 해를 $\mathbf{x}_{0}$라 하자. $\mathbf{x}_{0}$가 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 해라면 $A\mathbf{x}_{0} = \mathbf{b} $이다.

  양변의 왼쪽에 $A^{-1}$을 곱하면 $\mathbf{x}_{0} = A^{-1}\mathbf{b} $을 얻는다.

 

 

 

정리3

$A$를 정방행렬이라고 하자.

1. 만약 정방행렬 $B$가 $BA = I$를 만족하면 $B = A^{-1}$이다.

2. 만약 정방행렬 $B$가 $AB = I$를 만족하면 $B = A^{-1}$이다.

 

pf)

  $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $에 대하여 $\mathbf{x}_{0}$를 이 연립방정식의 임의의 해라고 하자. $A\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0} $의 양변의 왼쪽에 $B$를 곱하면

  $BA\mathbf{x}_{0} = B\mathbf{0} $이다. 즉, $\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0} $이다. 이는 $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $이 자명해만을 갖는다. 따라서 $A$는 가역이다.

  (가역과 동등한 명제들 1편 참고)

  $BA = I$에서 양변의 오른쪽에 $A^{-1}$을 곱하면 $BAA^{-1} = IA^{-1}$이다.

  $\therefore$  $B = A^{-1}$이다.

 

  위의 $(1)$에 의해 $B$는 가역이고 $A = B^{-1}$이다. $B^{-1}$도 가역이므로 $A$도 가역이다.

  (행렬-역행렬 정리3 참고)

  $\therefore$  $B = A^{-1}$이다.

 

 

 

정리4

$A$와 $B$를 같은 크기의 정방행렬이라고 하자. 만약 $AB$가 가역이면 $A$와 $B$도 가역이다.

 

  $AB$가 가역이므로 $AB(AB)^{-1} = I$이다. 이때 $B(AB)^{-1}$도 정방행렬이므로

  위의 정리3에 의하여 $A$는 가역이다. 같은방법에 의하여 $B$도 가역이다.