가역과 동등한 명제들 1

 

정리1

$A$가 $n \times n$행렬이면, 다음 명제들은 동등하다.

$(1)$ $A$는 가역이다.

$(2)$ $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $은 자명해만을 갖는다.

$(3)$ $A$의 기약 행사다리꼴은 $I_{n}$이다.

$(4)$ $A$는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.

 

  $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (4) \Rightarrow (1) $임을 보임으로써 동등함을 증명한다.

 

  $(1) \Rightarrow (2) \; )$

  $A$가 가역이고 $\mathbf{x}_{0}$를 $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $의 임의의 해라고 하자. 이 등식에 $A^{-1}$을 양변에 곱한다.

  $A^{-1}(A\mathbf{x}_{0}) = A^{-1}\mathbf{0}$에서 $A^{-1}(A\mathbf{x}_{0}) = (A^{-1}A)\mathbf{x}_{0} = I\mathbf{x}_{0} = \mathbf{x}_{0}$이므로 $\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0}$

  따라서 $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $은 자명해만을 갖는다.

 

  $(2) \Rightarrow (3) \; )$

  $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $가 다음 연립일차방정식의 행렬 형이라고 하자.

 

  $\begin{matrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0 \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \\
\vdots  \\
a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = 0\end{matrix}$

 

  이 연립방정식이 자명해만을 갖는다고 하면 첨가행렬의 기약 행사다리꼴과 연관된 연립방정식은 다음과 같다.

 

  $\begin{matrix}
x_{1} \qquad \qquad \qquad = 0 \\
\qquad x_{2} \qquad \qquad = 0 \\
\qquad \qquad \ddots \qquad \qquad  \\
\qquad \qquad \qquad x_{n} = 0\end{matrix}$

 

  $\therefore$  $A$의 기약 행사다리꼴은 $I_{n}$이 됨을 알 수 있다.

 

  $(3) \Rightarrow (4) \; )$

  $A$의 기약 행사다리꼴이 $I_{n}$이라 하자. 즉 $A$에 기본 행연산을 계속하여 기약행사다리꼴 $I_{n}$을 얻는다.

  따라서 적절한 기본행렬들을 왼쪽에 곱하여 이루어질 수 있다. 그러므로 다음 식을 만족하는 기본행렬들

  $E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{k}$를 찾을 수 있다.

  (행렬-기본행렬편 정리1 참고)

$E_{k} \cdots E_{2} E_{1} A = I_{n}$

  이때  $E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{k}$는 가역이다.

  (행렬-기본행렬편 정리2 참고)

  양변에 연속적으로 $E_{k}^{-1}, \cdots , E_{2}^{-1}, E_{1}^{-1}$를 왼쪽에 곱하여 다음을 얻는다.

$A = E_{1}^{-1} E_{2}^{-1} \cdots E_{k}^{-1} I_{n} = E_{1}^{-1} E_{2}^{-1} \cdots E_{k}^{-1}$

  따라서 기본행렬들의 역행렬도 기본행렬이므로 $A$는 기본행렬들의 곱으로 표시된다.

 

  $(4) \Rightarrow (1) \; )$

  $A$가 기본행렬들의 곱으로 표시되고 기본행렬들은 가역이므로 $A$는 가역행렬들의 곱이다.

  (행렬-역행렬편 정리2 참고)

  따라서 $A$는 가역이다.