아르키메데스의 원리(The Archimedes' Principle)

아르키메데스의 원리는 당연하게 보이는 명제이지만 완비성공리라는 공리를 세움으로써 증명가능한 정리이다.

 

아르키메데스의 원리(The Archimedes' Principle)

임의의 $a, b \in \mathbb{R}$에 대하여,  $a > 0$이면 $b < na$가 성립하는 자연수 $n$이 존재한다.

(즉, $\forall a, b \in \mathbb{R}, \; a > 0 \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} \; s.t. \; b<na$)

 

  Suppose 1 : 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 $na \leq b$라 하자.

  $E = \left\{na \; | \; n \in \mathbb{N}\right\}$이라 하면 가정에 의해 $b$는 집합 $E$의 상계이므로 집합 $E$는 위로 유계이다.

  즉, 집합 $E$의 최소상계가 존재한다. 이를 $m(=supE)$이라 하자.

 

  임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 $na \leq m$이므로 $n$대신 $n+1$에 대해서도 성립한다. 

  $\therefore$  $(n+1)a \leq m$

  위 식을 정리하면 $na \leq m-a$이다. 따라서 $m - a$ 또한 집합 $E$의 상계이다.

  $m$은 집합$E$의 최소상계이므로 $m \leq m-a$

  $\therefore$  $a \leq 0$

  Contradiction