함수항급수와 멱급수(series of functions and power series)

 

정의1

$\left<f_{n} \right>$을 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $D$ 위에서 정의된 함수열이라고 하자. $\left<f_{n} \right>$의 각 항 $f_{n}$을 합(+)의 기호로 연결한 식

$$f_{1} + f_{2} + \cdots + f_{n} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$$

을 $D$ 위에서 정의된 함수항급수(series of functions defined on D)라 한다. 각 자연수 $n$에 대하여 함수 $S_{n} : D \to \mathbb{R}$을

$$S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)$$

로 정의하였을 때, 함수열 $\left<S_{n} \right>$을 $\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$의 부분합의 함수열이라고 한다.

함수항급수 $\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$의 부분합의 함수열 $\left<S_{n} \right>$이 $D$ 위에서 함수 $f$에 점별수렴할 때, $\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$은 $D$ 위에서 $f$에 점별수렴한다고 한다. 이때, 함수 $f$를 $\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$의 합(sum)이라 부르고 기호는

$$f = \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$$

으로 나타낸다. 또한, $\left<S_{n} \right>$이 $D$ 위에서 함수 $f$에 평등수렴할 때, $\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$은 $D$ 위에서 $f$에 평등수렴한다고 말한다.

 

 

 

정의2

수열 $\left<a_{n} \right>$와 실수 $c$에 대하여 함수항급수

$$\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}(x - c)^{n} = a_{0} + a_{1}(x - c) + a_{2}(x - c)^{2} + \cdots $$

를 $(x - c)$에 관한 멱급수(power series)라고 한다.