함수열의 평등수렴성에 대한 코시 판정법

 

함수열의 평등수렴성 판정법에는 코시 판정법이 있다. 

 

정리1

$D$를 실수의 집합 $\mathbb{R} $의 부분집합이라 하고 $\left<f_{n} \right>$을 $D$위에서 정의된 함수열이라고 하자. $\left<f_{n} \right>$이 $D$위에서 함수 $f:D \to \mathbb{R}$에 평등수렴할 필요충분조건은 명제

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (x \in D, \; n, m \geq N \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| < \varepsilon )$

을 만족하는 것이다.

 

pf)

$\Rightarrow )$

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\left<f_{n} \right>$은 $D$위에서 $f$에 평등수렴 하므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $x \in D, \; n \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x) -f(x) \right| < \frac{\varepsilon }{2}$

  를 만족한다.

  $\therefore$  $x \in D, \; n, m \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right|$

                                                $= \left|f_{n}(x) - f(x) + f(x) - f_{m}(x) \right|$

                                                $\leq \left|f_{n}(x) - f(x) \right| + \left|f_{m}(x) - f(x) \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

  $\therefore$  $\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (x \in D, \; n, m \geq N \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| < \varepsilon )$

 

$\Leftarrow ) $

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  가정에 의해 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $x \in D, \; n, m \geq N \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} $

  를 만족한다.

  임의의 $x \in D $에 대하여 (즉, $x$ 고정),

  $n, m \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} $이므로 실수열 $\left<f_{n}(x) \right> $는 코시 수열이다.

  $\therefore$  $\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x)$

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) = f(x) $라 하자.

 

  $\therefore$  $x \in D, \; n \geq N $  $\Rightarrow$  $\displaystyle \lim_{m \to \infty }\left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| = \left|f_{n}(x) - f(x) \right| \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon$

  (수열-수렴하는 수열의 특징편 정리5 참고)

  $\therefore$  $\left<f_{n} \right> $은 $D$ 위에서 $f$에 평등수렴한다.