연속과 동치인 명제들(propositions equivalent to continuity)

 

함수의 연속과 동치인 명제들이 몇가지 있는데 그것을 알아보자.

 

정리1

$E$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라 하고, $c \in E $라고 하자. 함수 $f : E \to \mathbb{R}$에 있어서

$f$는 $x=c$에서 연속일 필요충분 조건은 점$c$에 수렴하는 $E$에서의 임의의 수열 $\left<x_{n} \right>$에 대응한 수열 $\left<f(x_{n}) \right>$은 언제나 $f(c)$에 수렴하는 것이다. 즉,

$f : E \to \mathbb{R}$ continuous at $c \in E$

$\Leftrightarrow$  $x_{n} \in E, \; \displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c \in E$를 만족하는 임의의 수열 $\left<x_{n} \right>$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = f(c)$이다.

 

pf)

$\Rightarrow )$

  $x_{n} \in E, \; \displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c$을 만족하는 임의의 수열 $\left<x_{n} \right>$에 대하여

  임의의 $\varepsilon > 0 $을 택하자.

  함수 $f : E \to \mathbb{R}$는 $x=c$에서 연속이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $\left|x-c \right| < \delta, \; x \in E$  $\Rightarrow$  $\left|f(x)-f(c) \right| <  \varepsilon $

  을 만족한다.

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c$이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $n \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|x_{n} - c \right| < \delta $

  를 만족한다.

  $\therefore$  $n \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|f(x_{n}) - f(c) \right| < \varepsilon $

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = f(c)$

 

$\Leftarrow )$

  Suppose 1 : 함수 $f : E \to \mathbb{R}$는 $x=c$에서 불연속

  따라서

  $\forall \delta > 0, \; \exists x_{\delta } \in E \;\; s.t. \;\; ( \left|x_{\delta }-c \right| < \delta, \; \left|f(x_{\delta })-f(c) \right|  \geq \varepsilon_{0} )$

  을 만족하는 적당한 $\varepsilon_{0} > 0$가 존재한다.

  이때 각 자연수 $n$에 대하여 $\delta = \frac{1}{n}$이라 하면 적당한 $x_{n} \in E$이 존재하여

  $\left|x_{n } - c \right| < \delta, \; \left|f(x_{n })-f(c) \right|  \geq \varepsilon_{0} $

  를 만족한다.

  수열 $\left<x_{n} \right>$에 대하여 명백히 $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c$이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = f(c)$이다.

  $\therefore$  $\exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq N \Rightarrow \left|f(x_{n}) - f(c) \right| < \varepsilon_{0} )$

  Contradiction

 

 

 

정리2

함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $에 있어서

$f$는 $\mathbb{R} $ 위에서 연속일 필요충분 조건은 $\mathbb{R} $에서의 임의의 개집합 $G$에 대하여 역상 $f^{-1}(G)$가 개집합인 것이다. 즉,

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continuous on $\mathbb{R} $

$\Leftrightarrow$   open set인 임의의 $G \subset \mathbb{R}$에 대하여 $f^{-1}(G)$는 open set이다.

 

증명

$\Rightarrow )$

  임의의 $a \in f^{-1}(G) $을 택하자.

  $G$ open set, $f(a) \in G$이므로 적당한 $\varepsilon >0$이 존재하여

  $N(f(a), \varepsilon ) \subset  G  $

  를 만족한다.

  함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $는 $\mathbb{R} $ 위에서 연속이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $\left|x-a \right| < \delta, \; x \in \mathbb{R} \Rightarrow \left|f(x)-f(a) \right| <  \varepsilon $

  를  만족한다.

  이는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

  $x \in N(a, \delta )$  $\Rightarrow$  $f(x) \in N(f(a), \varepsilon) $

  이때 $f(x) \in N(f(a), \varepsilon ) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(N(f(a), \varepsilon )) $이므로 

  $x \in N(a, \delta ) \Rightarrow x \in f^{-1}(N(f(a), \varepsilon )) $이다. 즉,

  $N(a, \delta ) \subset f^{-1}(N(f(a), \varepsilon ))$

  또한 $N(f(a), \varepsilon ) \subset G$이므로 $f^{-1 }(N(f(a), \varepsilon )) \subset f^{-1}(G)$이다.

  $\therefore$  $N(a, \delta ) \subset f^{-1}(G) $

  $\therefore$  $f^{-1}(G)$ open set

 

$\Leftarrow )$

  임의의 $a \in \mathbb{R}$를 택하자.

  임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.

  $G = N(f(a), \varepsilon )$라 하면 $G$는 open set이므로 $f^{-1}(G) = f^{-1}(N(f(a), \varepsilon ))$는 open set이다.

  $f(a) \in G$에 의하여 $a \in f^{-1}(G)$이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $N(a, \delta ) \subset f^{-1}(G) $

  를 만족한다.

  즉, $x \in N(a, \delta ) \Rightarrow x \in f^{-1}(G) $이다. 이는 위에서 보았듯이 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

  $x \in N(a, \delta ) \Rightarrow f(x) \in G = N(f(a), \varepsilon )$

  $\therefore$  $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continuous on $\mathbb{R} $