미적분학의 기본정리
정리1
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$에서 적분 가능할 때
$F : [a, b] \to \mathbb{R}$을 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$로 정의하면
1. $F$는 $[a, b]$ 위에서 평등연속
2. $f$가 $x_{0} \in [a, b]$에서 연속이면 $F$는 $x_{0}$에서 미분가능하고 $F'(x_{0}) = f(x_{0})$
pf)
$f$가 $[a, b]$에서 유계이므로 모든 $x \in [a, b]$에 대하여 $\left|f(x) \right| \leq M$인 $M$이 존재한다.
임의의 $\varepsilon > 0 $을 택하자.
$\delta = \frac{\varepsilon}{M}$라 하자.
$\left|x - y \right| < \delta, \; x,y \in [a, b]$ $\Rightarrow$ $\left|F(x) - F(y) \right| $
$= \left|\int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{y} f(t) dt \right|$
$= \left|\int_{y}^{x} f(t) dt \right|$
$\leq M \left|x - y \right| < M \cdot \frac{\varepsilon }{M} = \varepsilon $
$\therefore$ $F$는 $[a, b]$ 위에서 평등연속
임의의 $\varepsilon > 0 $을 택하자.
$f$가 $x_{0}$에서 연속이므로 적당한 $\delta >0$가 존재하여
$\left|x - x_{0} \right| < \delta, \; x \in [a, b]$ $\Rightarrow$ $\left|f(x) - f(x_{0}) \right| < \varepsilon$
를 만족한다.
$\therefore$ $0 < \left|x - x_{0} \right| < \delta, \; x \in [a, b]$ $\Rightarrow$ $\left|\frac{F(x) - F(x_{0})}{x - x_{0}} - f(x_{0}) \right| $
$= \left|\frac{1}{x - x_{0}} \int_{x_{0}}^{x} f(t) dt - \frac{1}{x - x_{0}} \int_{x_{0}}^{x} f(x_{0}) dt \right| $
$= \frac{1}{\left|x - x_{0} \right|} \left|\int_{x_{0}}^{x} f(t) - f(x_{0}) dt \right| < \varepsilon $
$\therefore$ $F'(x_{0}) = f(x_{0})$
따름정리 미적분학의 제 1 기본정리
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$위에서 연속일 때
$F : [a, b] \to \mathbb{R}$, $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$로 정의된 함수는 $[a, b]$ 위에서 미분가능하고 $F'(x) = f(x)$
정리2
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$위에서 연속이고 $F'(x) = f(x)$인 함수 $F : [a, b] \to \mathbb{R}$가 존재하면 다음이 성립한다.
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}F(x) = f(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{a}^{x} f(t) dt$이므로
$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt + C$
이때 $x = a$를 대입하면 $C = F(a)$를 얻는다. 또한 $x = b$일 때 $F(b) = \int_{a}^{b} f(t) dt + F(a)$
$\therefore$ $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
정리3 미적분학의 제 2 기본정리
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$에서 적분 가능하고 적당한 함수 $F : [a, b] \to \mathbb{R}$가 존재하여 $F'(x) = f(x)$이면 다음이 성립한다.
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
임의의 분할 $P = \left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} \right\} \in \mathcal{P}[a, b]$에 대하여
각 소구간 $[x_{k-1}, x_{k}]$ 위에서 $F$에 대한 평균값정리를 적용하면 적당한 $t_{k} \in (x_{k-1}, x_{k})$가 존재하여
$\frac{F(x_{k}) - F(x_{k-1})}{x_{k} - x_{k-1}} = F'(t_{k}) = f(t_{k})$
를 만족한다.
$\therefore$ $L(f, P) \leq \sum_{k=1}^{n} f(t_{k}) \Delta x_{k} \leq U(f, P) $
이때 $\sum_{k=1}^{n} f(t_{k}) \Delta x_{k} = \sum_{k=1}^{n} (F(x_{k}) - F(x_{k-1})) = F(b) - F(a) $이므로
$L(f, P) \leq F(b) - F(a) \leq U(f, P) $
위는 임의의 $P \in \mathcal{P}[a, b]$에 대하여 성립하므로
$\underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx \leq F(b) - F(a) \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx$
$\therefore$ $f \in \mathcal{R}[a, b]$이므로 $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$