함수의 적분가능성

 

정리1

$f \in \mathcal{R}[a, b]$

$\Leftrightarrow$ 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon$을 만족하는 $P_{\varepsilon} \in \mathcal{P}[a, b]$가 존재한다. 

 

pf)
$\Leftarrow)$

  $L(f, P_{\varepsilon}) \leq \underline{\int_{a}^{b}} fdx \leq \overline{\int_{a}^{b}} fdx \leq U(f, P_{\varepsilon})$이므로

  $0 \leq \overline{\int_{a}^{b}} fdx - \underline{\int_{a}^{b}} fdx \leq U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon$

 

  임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 위 식이 성립하므로 $\overline{\int_{a}^{b}} fdx = \underline{\int_{a}^{b}} fdx$

  $\therefore$  $f \in \mathcal{R}[a, b]$

 

$\Rightarrow)$

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\overline{\int_{a}^{b}} fdx = \mathrm{inf} \left\{U(f, P) \; | \; P \in \mathcal{P}[a, b] \right\}$,   $\underline{\int_{a}^{b}} fdx = \mathrm{sup} \left\{L(f, P) \; | \; P \in \mathcal{P}[a, b] \right\}$이므로 

  $U(f, P_{1}) < \overline{\int_{a}^{b}} fdx + \frac{\varepsilon}{2}$

  $L(f, P_{2}) > \underline{\int_{a}^{b}} fdx - \frac{\varepsilon}{2}$

  인 $P_{1}, P_{2} \in \mathcal{P}[a, b]$가 존재한다.

 

  $P_{\varepsilon} = P_{1} \cup P_{2}$라 하면

  $L(f, P_{2}) \leq L(f, P_{\varepsilon}) \leq U(f, P_{\varepsilon}) \leq U(f, P_{1})$이다.

  $\therefore$   $U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) \leq U(f, P_{1}) - L(f, P_{2})$

                                                    $ < \overline{\int_{a}^{b}} fdx + \frac{\varepsilon}{2} - ( \underline{\int_{a}^{b}} fdx - \frac{\varepsilon}{2} ) = \varepsilon$

 

 

 

정리2

$f$가 $[a, b]$에서 연속이면 $f$는 $[a, b]$에서 적분가능하다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $f$가 $[a, b]$에서 연속이므로 $f$는 $[a, b]$에서 유계이고 평등연속이다. 따라서 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $\left|x - y \right| < \delta, \; x, y \in [a, b]$  $\Rightarrow$  $\left|f(x) - f(y) \right| < \frac{\varepsilon}{b - a}$

  를 만족한다.

 

  분할 $P_{\varepsilon} = \left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$을

  $\Delta x_{1} = \cdots = \Delta x_{n} = \frac{b - a}{n} < \delta$를 만족하도록 택하자.

  $f$가 $[a, b]$에서 연속이므로 각 $I_{k} = [x_{k-1}, x_{k}]$에서 적당한 $t_{k}, u_{k} \in I_{k}$가 존재하여

  $f(t_{k}) = M(f, I_{k})$,  $f(u_{k}) = m(f, I_{k})$

  를 만족한다.

 

  이때 $\left|t_{k} - u_{k} \right| \leq \left|x_{k} - x_{k-1} \right| = \frac{b-a}{n} < \delta$이므로 $\left|f(t_{k}) - f(u_{k}) \right| < \frac{\varepsilon}{b - a}$이다.

 

  $\therefore$  $ U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) = \sum_{k=1}^{n} (M(f, I_{k}) - m(f, I_{k})) \Delta x_{k} $

                                                   $ = \sum_{k=1}^{n} (f(t_{k}) - f(u_{k})) \Delta x_{k}$

                                                   $< \sum_{k=1}^{n} \frac{\varepsilon }{b - a } \cdot \frac{b-a}{n} = \varepsilon$

 

 

 

정리3

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 단조증가 하거나 단조감소하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$

 

  단조증가인 경우만 다루자.

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  분할 $P_{\varepsilon} = \left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$을

  $\Delta x_{1} = \cdots = \Delta x_{n} = \frac{b - a}{n} $,  $ \frac{(b - a)(f(b) - f(a))}{n} < \varepsilon$를 만족하도록 택하자.

 

  $\therefore$  $ U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) = \sum_{k=1}^{n} (M(f, I_{k}) - m(f, I_{k})) \Delta x_{k} $

                                                   $ = \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1})) \frac{b-a}{n}$

                                                   $= \frac{(b - a)(f(b) - f(a))}{n} < \varepsilon$

 

  # 단조감소인 경우도 비슷한 방법으로 증명하면 된다.