급수의 수렴판정법(convergence test of series)
코시 판정법
급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴할 필요충분조건은
$$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq m \geq N \Rightarrow \left| \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \right| < \varepsilon )$$
을 만족하는 것이다.
($n=m$일때 $\left| \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \right|=0$이라 생각한다.)
급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴하는가는 부분합의 수열 $\left<S_{n} \right>$이 수렴하는가와 같다.
즉, 부분합의 수열이 코시수열인가를 묻는가와 똑같다. 따라서 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴할 필요충분조건은
$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n, m \geq N \Rightarrow \left|S_{n} - S_{m} \right| < \varepsilon )$
이때 $n \geq m$이라 가정하여도 일반성을 잃지 않고 $\left|S_{n} - S_{m} \right| = \left| \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \right|$이므로
급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴할 필요충분조건은 $$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq m \geq N \Rightarrow \left| \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \right| < \varepsilon )$$
을 만족하는 것이다.
바이어슈트라스 M-판정법
$\left<f_{n} \right> $을 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $D$ 위에서 정의된 함수열이라 하고, 모든 $x \in D$와 모든 자연수 $n$에 대하여
$\left|f_{n}(x) \right| \leq M_{n}$
을 만족하는 수열 $\left<M_{n} \right> $이 존재한다고 하자. 이때, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$이 수렴하면 함수항급수 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$은 $D$ 위에서 평등수렴한다.
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
$\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$이 수렴하므로 적당한 $K \in \mathbb{N}$가 존재하여 $$n \geq m \geq K \Rightarrow \sum_{k = m+1}^{n }M_{k} < \varepsilon $$
를 만족한다.
$\therefore$ $n \geq m \geq K, \; x \in D $ $\Rightarrow$ $\left|\sum_{k=m+1}^{n} f_{k}(x) \right| \leq \sum_{k=m+1}^{n} \left|f_{k}(x) \right|$
$\leq \sum_{k=m+1}^{n} M_{k} < \varepsilon $
$\therefore$ $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$은 $D$ 위에서 평등수렴한다.
비교 판정법
두 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$과 $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$에 있어서, 적당한 자연수 $N_{0}$가 존재하여 $n \geq N_{0}$인 모든 자연수 $n$에 대하여
1. $\left|b_{n} \right| \leq a_{n}$이고 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴한다면, $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$도 수렴한다.
2. $b_{n} \geq a_{n} \geq 0$이고 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 발산한다면, $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$도 발산한다.
pf)
임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.
$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴하므로 적당한 $N_{1} \in \mathbb{N}$이 존재하여 $$n \geq m \geq N_{1} \Rightarrow \left| \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \right| < \varepsilon $$
을 만족한다.
$N = max \left\{N_{0}, N_{1} \right\}$이라 하자.
$\therefore$ $n \geq m \geq N$ $\Rightarrow$ $$\left| \sum_{k = m+1}^{n }b_{k} \right| \leq \sum_{k = m+1}^{n } \left|b_{k} \right| \leq \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \leq \left| \sum_{k = m+1}^{n }a_{k} \right| < \varepsilon $$
$\therefore$ 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$도 수렴한다.
Suppose 1 : $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$은 수렴한다.
1.의 결과에 의하여 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$도 수렴한다.
Contradiction
$\therefore$ $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$도 발산한다.
비 판정법
급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$에 있어서,
1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = L < 1 $이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.
2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = L > 1 $ 또는 $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = \infty $이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산한다.
pf)
$L < 1 $이므로 적당한 $r \in \mathbb{R}$이 존재하여
$L < r < 1 $
을 만족한다.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = L $이므로 $\varepsilon = r - L (>0) $에 대하여 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여
$n \geq N$ $\Rightarrow$ $\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| - L \right| < r - L$
을 만족한다.
이때 $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| - L \leq \left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| - L \right|$이므로
$n \geq N \Rightarrow \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| < r $
이다. 즉, $n \geq N \Rightarrow \left|\ a_{n+1} \right| < \left|\ a_{n} \right| r$
$N, N+1, N+2, \cdots $를 연속적으로 대입하면
$\left|a_{N+1} \right| < \left|a_{N} \right| r $
$\left|a_{N+2} \right| < \left|a_{N+1} \right| r < \left|a_{N} \right| r^{2} $
$\left|a_{N+3} \right| < \left|a_{N+2} \right| r < \left|a_{N} \right| r^{3} $
이고, 일반적으로 $k \geq 1$인 모든 $k$에 대하여
$\left|a_{N+k} \right| < \left|a_{N} \right| r^{k} $
$0< r <1$이므로 $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_{N} \right| r^{k} $은 수렴한다.
따라서 비교판정법에 의해 $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_{N+k} \right| $도 역시 수렴한다. 결국 $\sum_{n=1}^{\infty } \left|a_{n} \right| $은 수렴한다.
$\therefore \; \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.
위와 같은 논법으로 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산한다.
급수 중에는 간혹 다음과 같은 특별한 급수가 있다.
정의1
급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$에 있어서, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{2n-1} \geq 0$이고, $a_{2n} \leq 0$인 관계를 만족하는 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$을 교대급수(alternating series)라고 부른다.
교대급수 판정법
교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 다음의 두 조건
$(\mathrm{i})$ $\left|a_{1} \right| \geq \left|a_{2} \right| \geq \cdots \geq \left|a_{n} \right| \geq 0$
$(\mathrm{ii})$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n} = 0$
을 만족하면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 수렴한다.
$\left<S_{n} \right> $을 교대급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$의 부분합의 수열이라고 하면 $\forall m \in \mathbb{N}, $
$S_{2m} \leq S_{2m + 2} \; (\because \; a_{2m+1} \geq -a_{2m+2})$
$S_{2m + 1} \leq S_{2m - 1} \; (\because \; -a_{2m} \geq a_{2m+1})$
$S_{2m} \leq S_{2m + 1} \; (\because \; a_{2m + 1} \geq 0)$
이므로 $\forall n, m \in \mathbb{N}, $
$S_{2n} \leq S_{2m + 1} \; (\because \; S_{2n} \leq S_{2(n+m)} \leq S_{2(n+m) + 1}\leq S_{2m + 1} )$
$\therefore \; n \geq 2m$에 대하여 $S_{2m} \leq S_{n} \leq S_{2m + 1}$ $\qquad$ ①
임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n} = 0$이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여
$n \geq N$ $\Rightarrow$ $\left|a_{n} \right| < \varepsilon $
을 만족한다.
이때 $ a_{n} \leq \left|a_{n} \right| $이므로 $n \geq N$ $\Rightarrow$ $a_{n} < \varepsilon $이다.
①에 의하여 $p, q \geq 2N$일 때
$S_{2N} \leq S_{p} \leq S_{2N + 1}$
$S_{2N} \leq S_{q} \leq S_{2N + 1}$
이다.
$\therefore$ $p, q \geq 2N$ $\Rightarrow$ $\left|S_{p} - S_{q} \right| \leq S_{2N+1} - S_{2N} = a_{2N+1} < \varepsilon $
$\therefore$ $\left<S_{n} \right> $은 코시수열이다.
$\therefore$ $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 수렴한다.