미분가능 함수의 성질
정의1
$f : E \to \mathbb{R}$, $c \in E$에 대하여적당한 $\delta > 0$가 존재하여
모든 $x \in N(c, \delta) \cap E$에 대하여 $f(x) \leq f(c)$가 성립한다.
를 만족하면 $f$는 $c$에서 극대값(local maximum value)를 갖는다고 한다.
정리1 페르마의 정리
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $c \in (a, b)$에서 극대값 또는 극솟값을 가지며 $f'(c)$가 존재하면 $f'(c) = 0$이다.
$f(c)$가 극대값이라 하자. 즉, 적당한 $\delta > 0$가 존재하여
$x \in N(c, \delta) \cap E \Rightarrow f(x) \leq f(c)$
를 만족한다.
$(\mathrm{i})$ $x \in (c, c+\delta) \cap [a, b]$일 때
$f_{+}'(c) = \displaystyle \lim_{x \to c+} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0$
$(\mathrm{ii})$ $x \in (c - \delta, c) \cap [a, b]$일 때
$f_{-}'(c) = \displaystyle \lim_{x \to c-} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0$
$f'(c)$가 존재하므로 $f'(c) = f_{+}'(c) = f_{-}'(c)$이다.
$\therefore$ $f'(c) = 0$
# 극소값인 경우도 비슷한 방법으로 증명하면 된다.
정리2 Rolle의 정리
$f$가 $[a, b]$에서 연속, $(a, b)$에서 미분가능하고 $f(a) = f(b)$이면 $f'(c) = 0$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.
$f$가 $[a, b]$에서 연속이므로 모든 $x \in [a, b]$에 대하여 $f(x_{1}) \leq f(x) \leq f(x_{2})$인 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$가 존재한다.
(연속-컴팩트집합 위에서 정의된 연속함수의 성질편 정리4 참고)
Case 1 : $x_{1} \notin (a, b)$이고 $x_{2} \notin (a, b)$
$f(a) = f(b)$이므로 $f(x_{1}) = f(x_{2})$
$\therefore$ $f$는 $[a, b]$에서 상수함수
$\therefore$ $f'(x) = 0$ $(x \in [a, b])$
Case 1 : $x_{1} \in (a, b)$ 또는 $x_{2} \in (a, b)$
$x_{1} \in (a, b)$인 경우만 다루자.
$f$가 $x_{1} \in (a,b)$에서 최솟값을 가지므로 $f(x_{1})$은 극솟값이다.
따라서 페르마의 정리에 의해 $f'(x_{1}) = 0$이다.
# $x_{2} \in (a, b)$도 같은 방법으로 증명하면 된다.
$\therefore$ $f'(c) = 0$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.
정리3
함수 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 미분가능한 함수이고 모든 $x \in [a,b]$에 대하여 $f'(x) \neq 0$이라고 하자.
만일 두 점 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$가 $x_{1} \neq x_{2}$이면 $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$이다.
WLOG, WMA $x_{1} < x_{2}$
Suppose 1 : $f(x_{1}) = f(x_{2})$
$F : [x_{1}, x_{2}] \to \mathbb{R}$, $F(x) = f(x)$라 하자.
$F$는 $[x_{1}, x_{2}]$에서 연속이고 $(x_{1}, x_{2})$에서 미분가능하므로 Rolle의 정리에 의해
$F'(x_{0}) = 0$을 만족시키는 점 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$가 존재한다.
즉, $f'(x_{0}) = 0$을 만족시키는 점 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2}) \subset (a, b)$가 존재한다.
Contradiction