절대수렴과 조건수렴(absolute convergence and conditional convergence)

 

정의1

급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$에 있어서 , 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\left|a_{n} \right|$이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴(absolute convergence)한다고 말하고, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 수렴하지만 $\sum_{n=1}^{\infty }\left|a_{n} \right|$이 수렴하지 않으면 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 조건수렴(conditional convergence)한다고 말한다.

 

 

 

정리1

급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 절대수렴하면 , $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 수렴한다.

 

  임의의 자연수 $m, n$에 대하여 $n \geq m$이면 $$\left|\sum_{k = m+1}^{n } a_{k} \right| \leq \sum_{k = m+1}^{n }\left|a_{k} \right| = \left| \sum_{k = m+1}^{n }\left|a_{k} \right| \right| $$

  이고 $\sum_{n=1}^{\infty }\left|a_{n} \right|$은 수렴하므로 급수에 관한 코시 수렴 판정법에 의하여 $$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq  m \geq N \Rightarrow \left| \sum_{k = m+1}^{n }\left|a_{k} \right| \right| < \varepsilon )$$

  을 만족한다. 따라서 $$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq  m \geq N \Rightarrow \left| \sum_{k=m+1}^{n }a_{k} \right| < \varepsilon )$$

  을 만족한다.

  $\therefore$  $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 수렴한다.

 

 

 

정의2

급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$에 있어서, 각 자연수 $n$에 대하여 $a{_{n}}^{+}$와  $a{_{n}}^{-}$를 각각

$a{_{n}}^{+} = max \left\{a_{n}, 0 \right\}, \; a{_{n}}^{-} = max \left\{-a_{n}, 0 \right\}$

로 정의하자. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a{_{n}}^{+} \geq 0, \; a{_{n}}^{-} \geq 0$이 되며 또한

$a_{n} = a{_{n}}^{+} - a{_{n}}^{-}, \; \left|a_{n} \right| = a{_{n}}^{+} + a{_{n}}^{-}$

을 만족한다.

 

 

 

정리2

1. 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 절대수렴할 필요충분조건은 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a{_{n}}^{+}$와 $\sum_{n=1}^{\infty }a{_{n}}^{-}$가 모두 수렴하는 것이다.

2. 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 조건수렴하면, $\sum_{n=1}^{\infty }a{_{n}}^{+}$와 $\sum_{n=1}^{\infty }a{_{n}}^{-}$가 모두 발산한다.

 

pf)

1.

$\Rightarrow  )$

  급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 절대수렴하므로 $\sum_{n=1}^{\infty } \left|a_{n} \right| $이 수렴한다.

  이때 모든 자연수 $n$에 대하여 $0 \leq a{_{n}}^{+} \leq \left|a_{n} \right|$이고 $0 \leq a{_{n}}^{-} \leq \left|a_{n} \right|$이 된다.

  따라서 비교판정법에 의하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }a{_{n}}^{+}$와 $\sum_{n=1}^{\infty }a{_{n}}^{-}$가 모두 수렴한다.

 

$\Leftarrow )$

  $\sum_{n=1}^{\infty } \left|a_{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty } (a{_{n}}^{+} + a{_{n}}^{-}) = \sum_{n=1}^{\infty } a{_{n}}^{+} + \sum_{n=1}^{\infty } a{_{n}}^{-}$이므로 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.

  (수열-수렴하는 수열의 특징편 정리3 참고)

 

2.

(a)와 $a_{n} = a{_{n}}^{+} - a{_{n}}^{-}, \; \left|a_{n} \right| = a{_{n}}^{+} + a{_{n}}^{-}$을 이용하면 쉽게 구할 수 있으므로 생략