비가부번집합

 

정리1

열린구간 $(0,1)$은 무한집합으로서 비가부번집합이다.

 

  (칸토어의 대각법)

  각 $x \in (0, 1)$을 $0.x_{1}x_{2}x_{3} \cdots$같은 꼴의 소수로 전개하자.

  유일한 소수전개를 위하여 유한소수는 순환소수로 나타낸다.

  따라서 $x, y \in (0,1)$ $(x = 0.x_{1}x_{2}x_{3} \cdots , y = 0.y_{1}y_{2}y_{3} \cdots )$에 대하여

  $x = y$  $\Leftrightarrow$  $x_{k} = y_{k}$ $(k = 1, 2, \cdots)$

 

  Suppose 1 : $(0,1)$이 가부번집합이라고 하자

  따라서 일대일 대응 $f : \mathbb{N} \sim (0,1)$이 존재한다. 즉,

  $f(1) = 0.a_{11}a_{12}a_{13} \cdots$

  $f(2) = 0.a_{21}a_{22}a_{23} \cdots$

  $f(3) = 0.a_{31}a_{32}a_{33} \cdots$

  $\vdots$

  여기서 $a_{jk} \in \left\{0, 1, 2, \cdots, 9 \right\}$

 

  이때 $z = 0.z_{1}z_{2}z_{3} \cdots$,  $z_{k} = {\begin{cases}
  1 & \text{ if } \; a_{kk} = 5 \\
  5 & \text{ if } \; a_{kk} \neq 5 
\end{cases}}$라 하자.

  그러면 $z \in (0,1)$이지만

  $z \neq f(1)$ $(\because z_{1} \neq a_{11})$

  $z \neq f(2)$ $(\because z_{2} \neq a_{22})$

  $\vdots$

 

  $\therefore$  $\forall k \in \mathbb{N}, \; z \neq f(k)$ 즉, $z \notin f(\mathbb{N}) = (0,1)$

  Contradiction

 

  $\therefore$  $(0,1)$은 비가부번집합이다.

 

 

 

따름정리

$\mathbb{R}$은 무한집합으로서 비가부번집합이다.

 

# $(0,1) \sim \mathbb{R}$