단사, 전사, 전단사

 

정의1

함수 $f : X \to Y$, $x_{1}, x_{2} \in X$에 대하여

$f(x_{1}) = f(x_{2}) \;\; \Rightarrow \;\; x_{1} =x_{2}$

즉, 

$x_{1} \neq x_{2} \;\; \Rightarrow \;\; f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

일 때 $f$를 일대일 함수 또는 단사함수라 한다.

 

 

 

정의2

함수 $f : X \to Y$,

임의의 $y \in Y$에 대하여 적어도 하나의 $x \in X$가 존재하여 $y = f(x)$, 즉

$f(X) = Y$

일 때 $f$를 위로의 함수 또는 전사함수라 한다.

 

 

 

정의3

함수 $f : X \to Y$가 단사함수이고 전사함수일 때 이 함수를 일대일 대응(one-to-one onto) 함수또는 전단사함수라고 한다.

 

 

 

정리1

함수 $f : X \to Y$가 단사이면, 정의역 $X$의 부분집합족 $\left\{A_{\gamma} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\} $에 대하여 다음이 성립한다.

$$f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} f(A_{\gamma}) $$

 

  $y \in f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})$

  $\Leftrightarrow$  $\forall \gamma \in \Gamma, \; y \in f(A_{\gamma})$

  $\Leftrightarrow$  $\forall \gamma \in \Gamma, \; (\exists x_{\gamma} \in A_{\gamma} \; y = f(x_{\gamma}))$

  $f : X \to Y$가 단사이므로 모든 $x_{\gamma}$는 같다. 이것을 $x_{0}$라 하자.

 

  $y \in f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})$

  $\Leftrightarrow$  $\forall \gamma \in \Gamma, \; (\exists x_{0} \in A_{\gamma} \;\; y = f(x_{0}))$

  $\Leftrightarrow$  $\exists x_{0} \in f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) \;\; y = f(x_{0})$

  $\Leftrightarrow$  $y \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} f(A_{\gamma})$

 

 

 

정리2

전단사 $f : X \to Y$에 대하여 $f^{-1} : X \to Y$도 전단사이다. 이때 $f^{-1}$를 $f$의 역함수라 한다.

 

  Show 1 : $f^{-1}$는 $Y$에서 $X$로의 관계이다.

 

  Show 2 : $\mathrm{Dom}(f^{-1}) = Y$

  $f$가 전사이므로 $\mathrm{Im}(f) = Y$

  $y \in \mathrm{Im}(f)$

  $\Leftrightarrow$  $\exists x \in X, \; y = f(x)$

  $\Leftrightarrow$  $\exists x \in X, \; (x, y) \in f$

  $\Leftrightarrow$  $\exists x \in X, \; (y, x) \in f^{-1}$

  $\Leftrightarrow$  $y \in \mathrm{Dom}(f^{-1})$

  $\therefore$  $ \mathrm{Dom}(f^{-1}) = \mathrm{Im}(f) = Y$

 

  Show 3 : $(y, x_{1}) \in f^{-1} \wedge (y, x_{2}) \in f^{-1} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$

  $ (y, x_{1}) \in f^{-1} \wedge (y, x_{2}) \in f^{-1}$라 하자.

  그러면 $(x_{1}, y) \in f \wedge (x_{2}, y) \in f$이다. 즉,

  $y = f(x_{1}) \wedge y = f(x_{2})$

  $f$가 단사이므로 $x_{1} = x_{2}$

 

  $\therefore$  1, 2, 3에 의하여 $f^{-1}$는 함수이다.

 

  Show 4 : $f^{-1}$는 단사

  $f^{-1}(y_{1}) = f^{-1}(y_{2}) = x$라 하면

  $f(x) = y_{1} \wedge f(x) = y_{2}$

  $\therefore$  $y_{1} = y_{2}$

 

  Show 5 : $\mathrm{Im}(f^{-1}) = X$

  $x \in \mathrm{Im}(f^{-1})$

  $\Leftrightarrow$  $\exists y \in Y, \; f^{-1}(y) = x$

  $\Leftrightarrow$  $\exists y \in Y, \; (y, x) \in f^{-1}$

  $\Leftrightarrow$  $\exists y \in Y, \; (x, y) \in f$

  $\Leftrightarrow$  $x \in \mathrm{Dom}(f)$

  $\therefore$  $\mathrm{Im}(f^{-1}) = \mathrm{Dom}(f) = X$