함수

 

정의1

공집합이 아닌 두 집합 $X, Y$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수란 하나의 세 짝 $(f, X, Y)$를 뜻한다. 여기서 $f$는 다음 두 조건을 만족하는 $X$에서 $Y$로의 관계이다.

1. $\mathrm{Dom}(f) = X$

2. $(x, y) \in f \wedge (x, z) \in f \Rightarrow y=z$

 

기호 : $(f, X, Y)$ 대신 $ f : X \to Y$, $(x, y) \in f$ 대신 $y = f(x)$를 사용한다.

 

 

 

정의2

함수 $f : X \to Y$에 대하여 $y = f(x)$일 때 $y$를 $f$에 따른 $x$의 상(image) $x$를 $f$에 따른 $y$의 원상(pre image)이라 한다.

$\mathrm{Im}(f) = \left\{f(x) \; | \; x \in X \right\}$

를 $f$의 치역 또는 상(range, image)이라 한다.

 

 

 

정리1

$f : X \to Y$, $g : X \to Y$에 대하여

$f = g$  $\Leftrightarrow$  $\forall x \in X, \; f(x) = g(x)$

 

pf)

$\Rightarrow)$

  임의의 $x \in X$에 대하여 $y = f(x)$  $\Leftrightarrow$  $(x,y) \in f$

  $\Leftrightarrow$  $(x,y) \in g$  $\Leftrightarrow$  $y = g(x)$

  $\therefore$  $\forall x \in X, g(x) = f(x)$

 

$\Leftarrow)$

  $(x,y) \in f$  $\Leftrightarrow$  $y = f(x)$  $\Leftrightarrow$  $y = g(x)$  $\Leftrightarrow$  $(x,y) \in g$

  $\therefore$  $f = g$

 

 

 

정의3

1. $A \subseteq X$

$\chi_{A} : X \to \left\{0, 1 \right\}$, $\chi_{A}(x) = \begin{cases}
1 &  x \in A \\
0 &  x \notin A
\end{cases}$

를 $A$의 특성함수라고 한다. 즉,

 

2. $\Delta_{x} : \left\{(x,x) \; | \; x \in X \right\} $

를 $X$ 위에서의 항등관계라 하고 $X$에서 그 자신으로의 함수이다. 이때 새로운 기호

$I_{x} : X \to X$를 쓰기로 한다.

 

 

 

정리2

두 함수 $f: A \to C$, $g : B \to D$에 대하여 $\forall x \in A \cap B, f(x) = g(x)$일 때 두 함수의 합은 다음과 같이 정의된다.

$h = f \cup g : A \cup B \to C \cup D$

$h(x) = \begin{cases}
f(x) & \text{ if } \; x \in A \\
g(x) & \text{ if } \; x \in B 
\end{cases} $

 

  Show 1 : $h$는 $A \cup B$에서 $C \cup D$로의 관계이다.

  함수 $f, g$는 각각 관계이므로

  $f \subseteq A \times C$,  $g \subseteq B \times D$

  $h = f \cup g \subseteq (A \times C) \cup (B \times D)$

  $\subseteq (A \cup B) \times (C \cup D)$

 

  Show 2 : $\mathrm{Dom}(h) = A \cup B$

  $x \in \mathrm{Dom}(f \cup g)$

  $\Leftrightarrow$  $\exists y, \; (x,y) \in f \cup g$

  $\Leftrightarrow$  $\exists y, \; (x,y) \in f \vee (x,y) \in g$

  $\Leftrightarrow$  $x \in \mathrm{Dom}(f) \vee x \in \mathrm{Dom}(g)$

  $\Leftrightarrow$  $x \in \mathrm{Dom}(f) \cup \mathrm{Dom}(g)$

  $\Leftrightarrow$  $x \in A \cup B$

 

  Show 3 : $(x, y) \in h \wedge (x, z) \in h \Rightarrow y=z$

  $ (x, y) \in h \wedge (x, z) \in h$라고 가정하자.

  각 $x \in \mathrm{Dom}(h) = A \cup B$에 대하여 다음 중 하나가 성립한다.

$(\mathrm{i})$ $x \in A$,                                  $(\mathrm{ii})$ $x \in B-A$

  $x \in A$이면 $h(x) = f(x)$이다. 즉,

  $(x, y) \in h \wedge (x, z) \in h$

  $\Rightarrow$ $(x, y) \in f \wedge (x, z) \in f$

  $\Rightarrow$ $y=z$

  $x \in B-A$일 때도 비슷한 방법을 적용하면된다.