코시 수열(Cauchy sequence)

 

사람들은 수열 $\left<x_{n} \right>$이 수렴하기 위한 조건을 찾기를 원한다. 그 해답에 도움을 주는 것 중에 하나가 코시 수열이다. 

 

정의1

수열 $\left<x_{n} \right>$에 있어서, 명제

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n, m \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x_{m} \right| < \varepsilon )$

을 만족하면, $\left<x_{n} \right>$을 코시 수열(Cauchy sequence)이라고 한다.

 

 

 

정리1

$\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n}$  $\Rightarrow$  $\left<x_{n} \right>$ Cauchy sequence

 

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x $라 하자.

  임의의 $\varepsilon >0$을 택하자. $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x $이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $n \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \frac{\varepsilon }{2} $

  를 만족한다.

  $\therefore$  $n, m \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|x_{n} - x_{m} \right| = \left|x_{n} - x + x - x_{m} \right| \leq \left|x_{n} - x \right| + \left|x_{m} - x \right| <\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

  $\therefore$  $\left<x_{n} \right>$ Cauchy sequence

 

즉, 수렴하는 수열은 코시수열이다. 과연 역도 성립할까? 답은 yes이고 이를 증명하기 위해 다음 2가지 정리를 증명할 것이다.

 

 

 

정리2

$ \left<x_{n} \right>$ Cauchy sequence  $\Rightarrow $  $\left<x_{n} \right>$ bdd

 

  임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.

  $ \left<x_{n} \right>$ Cauchy sequence이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $n, m \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x_{m} \right| < \varepsilon $

  를 만족한다.

  $M = max \left\{\left|x_{1} \right|, \left|x_{2} \right|, \cdots, \left|x_{N-1} \right|, \left|x_{N} \right| +\varepsilon \right\}$라 하자.

  $n \geq N$일 때

  $\left|x_{n} \right| = \left|x_{n} - x_{N} + x_{N} \right| \leq \left|x_{n} - x_{N} \right| + \left|x_{N} \right| < \left|x_{N} \right| + \varepsilon \leq M$

  $\therefore$  $\left<x_{n} \right>$ bdd

 

# 유계인 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 가지므로 코시수열은 수렴하는 부분수열을 가지는 것을 의미한다.

(수열 - 수렴하는 수열의 특징 번외편 참고)

 

 

 

정리3

코시 수열 $\left<x_{n} \right>$의 어떤 한 부분수열이 실수 $x$에 수렴하면, 원수열 $\left<x_{n} \right>$도 $x$에 수렴한다.

 

  $\displaystyle \lim_{k \to \infty } x_{n_{k}} = x $라 하자.

  임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.

  $\left<x_{n} \right>$은 Cauchy sequence이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $n, m \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x_{m} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$

  를 만족한다.

  부분수열 $\left<x_{n_{k}} \right>$은 $x$에 수렴하므로 적당한 $K_{1}, K_{2} \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $k \geq K_{1}$  $\Rightarrow$  $\left|x_{n_{k}} - x \right| < \frac{\varepsilon }{2}$

  $k \geq K_{2}$  $\Rightarrow$  $n_{k} \geq N$

  을 만족한다.

  $K = max\left\{K_{1}, K_{2} \right\}$라 하자.

  $\therefore$  $n \geq K$  $\Rightarrow$  $\left|x_{n} - x \right| = \left|x_{n} - x_{n_{K}} + x_{n_{K}} - x \right| \leq \left|x_{n} - x_{n_{K}} \right|+\left|x_{n_{K}} - x \right| <  \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

  ( ※ 이때 $x_{n_{K}}$는 위 과정으로 정해진 상수라는 점을 인지하여라)

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x $

 

 

 

따라서 수열 $\left<x_{n} \right>$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $\left<x_{n} \right>$이 코시수열인 것이다.

 

정리4

$\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n}$  $\Leftrightarrow$  $\left<x_{n} \right>$ Cauchy sequence