데카르트 곱

 

정의1

임의의 두 집합 $A, B$에 대하여 $A, B$의 데카르트 곱(Descarte's product, Cartesian product) $A \times B$를 다음과 같이 정의한다.

$A \times B = \left\{(a,b) \; | \; a \in A \wedge b \in B \right\}$

 

특히 $A = B = \mathbb{R}$인 경우

$\mathbb{R}^{2} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \left\{(x,y) \; | \; x \in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R} \right\}$

이 데카르트곱은 실수의 모든 순서쌍의 집합으로서 좌표평면(또는 데카르트평면)을 뜻한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $A, B, C$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$

2. $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$

 

pf)

  $(a, x) \in A \times (B \cap C)$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge x \in B \cap C$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C)$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge a \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C)$

  $\Leftrightarrow$  $(a \in A \wedge x \in B) \wedge (a \in A \wedge x \in C)$

  $\Leftrightarrow$  $(a,x) \in A \times B \wedge (a,x) \in A \times C$

  $\Leftrightarrow$  $(a,x) \in (A \times B) \cap (A \times C)$

 

  $(a, x) \in A \times (B \cup C)$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge x \in B \cup C$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge (x \in B \vee x \in C)$

  $\Leftrightarrow$  $(a \in A \wedge x \in B) \vee (a \in A \wedge x \in C)$

  $\Leftrightarrow$  $(a,x) \in A \times B \vee (a,x) \in A \times C$

  $\Leftrightarrow$  $(a,x) \in (A \times B) \cup (A \times C)$

 

 

 

정리2

$A \times (B-C) = (A \times B) - (A \times C)$ 

 

  $(a, x) \in A \times (B - C)$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge x \in B - C$

  $\Leftrightarrow$  $a \in A \wedge a \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C$

  $\Leftrightarrow$  $(a \in A \wedge x \in B) \vee (a \in A \wedge x \notin C)$

  $\Leftrightarrow$  $(a,x) \in A \times B \vee (a,x) \notin A \times C$

  $\Leftrightarrow$  $(a,x) \in (A \times B) - (A \times C)$