집합과 부분집합

 

정의1

(직관적 정의) 우리의 직관 또는 사고의 대상으로서 서로 뚜렷이 구분되는 원소(element)의 모임을 집합(set)이라 한다.

 

 

 

정의2

두 집합 $A$와 $B$에 대하여 $A$의 원소와 $B$의 원소가 같을 때 $A$와 $B$는 같아고 하고 $A=B$로 나타낸다. 즉,

$\forall x \; (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$

($A$와 $B$가 같지 않을 때는 $A \neq B$로 나타낸다.)

 

 

 

정의3

임의의 집합 $A, B$에 대하여 $A$의 모든 원소가 $B$의 원소일 때 $A$는 $B$의 부분집합(subset), $B$는 $A$의 초집합, 포함집합(superset)이라 하고 $ A \subseteq B$ 또는 $B \supseteq A$와 같이 나타낸다. 또한 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

$A \subseteq B \equiv \forall x \; (x \in A \Rightarrow x \in B) $

($A$가 $B$의 부분집합이 아닐 때 $A \nsubseteq B$로 나타낸다.)

 

이때 $A \subseteq B$이고 $A \neq B$일 때 $A$는 $B$의 진부분집합(proper subset), $B$는 $A$의 진포함집합(proper superset)이라하고 $A \subset B$ 또는 $B \supset A$와 같이 나타낸다.

 

 

 

정리1

$A = B$  $\Leftrightarrow$  $(A \subseteq B \wedge B \subseteq A)$ 

 

# 증명은 정의1과 정의2를 보면 쉽게 알 수 있다.

 

 

 

정리2

공집합 $\varnothing$은 임의의 집합의 부분집합이다.

 

  임의의 집합 $A$를 택하자.

  $\forall x \; (x \in \varnothing \rightarrow x \in A)$가 참임을 밝히면 된다.

  공집합에는 원소가 존재하지 않으므로 '$x \in \varnothing$'은 거짓이다. 따라서 $ x \in \varnothing \rightarrow x \in A$는 참이다.

  $\therefore$  $\varnothing \subseteq A$

 

 

 

정리3

$A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$

 

  모든 $x$에 대하여

  $(x \in A \Rightarrow x \in B) \wedge (x \in B \Rightarrow x \in C) $

  $\therefore$  $ \forall x \; (x \in A \Rightarrow x \in C)$

 

 

 

정의4

1. 집합의 조건제시법 : $\left\{\begin{matrix} x \in A \; | \; p(x)\end{matrix}\right.$는 참이다$\left.\begin{matrix} \end{matrix}\right\}$와 같이 집합을 나타내는 방법이다.

2. 집합의 원소나열법 : $\left\{1, 2, 3 \right\}$ 

 

 

 

정의5

집합 $A$의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 $A$의 멱집합(power set)이라 하고 $\mathcal{P}(A)$로 나타낸다.

(e.g. $\mathcal{\left\{a \right\}}(A) = \left\{\varnothing, \left\{a \right\} \right\}$)

 

 

 

정리4

집합 $A$의 원소가 $n$개면 $\mathcal{P}(A)$의 원소의  갯수는 $2^{n}$이다.

 

# 이항정리를 이용하여 증명할 수 있다.