수렴하는 수열의 특징(characteristics of convergent sequences)
수렴하는 수열에는 여러가지 특징이 있다. 그 중 6가지 정리를 알아보자.
정리1
수열 $\left<x_{n} \right>$이 수렴하면, 그 극한은 유일하다.
Suppose 1 : $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{1}$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{2}$
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{1}$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{2}$이므로 적당한 $N_{1}, N_{2} \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n \geq N_{1} \Rightarrow \left|x_{n} - x_{1} \right| < \frac{\varepsilon }{2} $
$n \geq N_{2} \Rightarrow \left|x_{n} - x_{2} \right| < \frac{\varepsilon }{2} $
를 만족한다.
$N = max\left\{N_{1}, N_{2} \right\}$라 하자.
$\therefore$ $n \geq N$ $\Rightarrow$ $\left|x_{1} - x_{2} \right| = \left|x_{1} - x_{n} + x_{n} - x_{2} \right| \leq \left|x_{n} - x_{1} \right| + \left|x_{n} - x_{2} \right| < \varepsilon $
위는 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 성립한다.
$\therefore$ $x_{1} = x_{2}$
정리2
$\left<x_{n} \right>$ converge $\Rightarrow$ $\left<x_{n} \right>$ bdd
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x$라 하자.
$\forall \varepsilon >0$을 대하여, 적당한 $\exists N \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \varepsilon $
를 만족한다.
$M = max \left\{\left|x_{1} \right|, \left|x_{2} \right|, \cdots, \left|x_{N-1} \right|, \left|x \right| + \varepsilon \right\}$라 하자.
$n \geq N$일때, $\left|x_{n} \right| = \left|x_{n} - x + x \right| \leq \left|x_{n} - x \right| + \left|x \right| < \left|x \right| + \varepsilon \leq M$
$\therefore$ $\forall n \in \mathbb{N}, \; \left|x_{n} \right| \leq M$
정리3
$\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n}(=x), \; \exists \displaystyle \lim_{n \to \infty } y_{n}(=y)$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty } (x_{n} + y_{n}) = x + y = \displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} +\displaystyle \lim_{n \to \infty } y_{n}$
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n}=x, \; \displaystyle \lim_{n \to \infty } y_{n}=y$이므로 적당한 $N_{1}, N_{2} \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n \geq N_{1} \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \frac{\varepsilon }{2} $
$n \geq N_{2} \Rightarrow \left|y_{n} - y \right| < \frac{\varepsilon }{2} $
를 만족한다.
$N = max\left\{N_{1}, N_{2} \right\}$라 하자.
$\therefore$ $n \geq N$ $\Rightarrow$ $\left|x_{n} + y_{n} -x -y \right| \leq \left|x_{n} - x \right| + \left|y_{n} - y \right| < \varepsilon $
$\therefore$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty } (x_{n} + y_{n}) = x + y $
정리4
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \left|x_{n} \right| = \left|x \right|$
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x$이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \varepsilon$
를 만족한다.
이때 $\left| \left|x_{n} \right| - \left|x \right| \right| \leq \left| x_{n} - x \right|$이다.
$\therefore$ $n \geq N$ $\Rightarrow$ $ \left| \left|x_{n} \right| - \left|x \right| \right| \leq \left| x_{n} - x \right| < \varepsilon$
$\therefore$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \left|x_{n} \right| = \left|x \right|$
정리5
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x$, 어떤 자연수 $N_{0}$에 대하여 $ (n \geq N_{0} \Rightarrow \left|x_{n} \right| < M) \;\; \Rightarrow \;\; \left|x \right| \leq M$
Suppose 1 : $\left|x \right| > M$
$\left|x \right| - M = d(>0)$이라 하자. 그러면 수열 $\left<x_{n} \right>$은 $x$에 수렴하므로 적당한 $N_{1} \in \mathbb{N}$이 존재하여
$n \geq N_{1} \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \frac{d}{2}$
를 만족한다.
$N = max\left\{N_{0}, N_{1} \right\}$라 하자.
$\left| \left|x_{N} \right| - \left|x \right| \right| \leq \left| x_{N} - x \right|$이므로 $\left| \left|x_{N} \right| - \left|x \right| \right| < \frac{d}{2}$이다.
$\therefore$ $M = \left|x \right| - d < \left|x \right| - \frac{d}{2} < \left|x_{N} \right|$
즉, $M < \left|x_{N} \right|$이다.
Contradiction
정리6
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \lim_{k \to \infty } x_{n_{k}}= x$
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
수열 $\left<x_{n} \right> = x$이므로 적당한$N \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \varepsilon$
를 만족한다.
$\left<x_{n_{k}} \right>$는 $\left<x_{n} \right>$에 부분수열이므로 적당한 $K \in \mathbb{N}$가 존재하여
$k \geq K \Rightarrow n_{k} \geq N$
를 만족한다.
$\therefore$ $k \geq K$ $\Rightarrow$ $\left|x_{n_{k}} - x \right| < \varepsilon$
$\therefore$ $\displaystyle \lim_{k \to \infty } x_{n_{k}}= x $