함수의 극한과 연속 정의(Definition of function's limit and continuous)

 

정의1

$E$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라 하고, 한 실수 $a$를 $E$의 집적점이라 하자. 함수 $f : E \to \mathbb{R}$에 있어서, 적당한 실수 $L$이 존재해서 명제

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \;\; s.t. \;\; (0 < \left|x-a \right| < \delta, \; x \in E \Rightarrow \left|f(x)-L \right| <  \varepsilon )$

를 만족하면, $x$가 점 $a$에 가까워질 때($x \to a $)일 때 $f$의 극한이 존재한다 또는 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 말한다.

이때 $L$을 $x=a$에서의 $f$의 극한값(limit)이라고 하며, 이것을 기호로

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$

로 나타낸다.

 

 

 

정의2

$E$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라 하고, 실수 $c$를 $c \in E $라고 하자. 함수 $f : E \to \mathbb{R}$에 있어서 명제 

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \;\; s.t. \;\; ( \left|x-c \right| < \delta, \; x \in E \Rightarrow \left|f(x)-f(c) \right| <  \varepsilon )$

를 만족하면, 함수 $f$는 점 $x=c$에서 연속(continuous at c)이라고 한다. 특히 $f$가 모든 점 $x \in E $에서 연속이면 $f$는 $E$ 위에서 연속(continuous on E)이라고 하고, 이때 $f$는 $E$ 위에서 정의된 연속함수(continuous function)이다 또는 함수 $f : E \to \mathbb{R}$는 연속이라고 말한다. 또 $f$가 점 $c$에서 연속이 아닐 때, $f$는 점 $x=c$에서 불연속(discontinuous at c)이라고 한다.

 

($c \in E $가 $E$의 고립점(isolated point)이면, 즉 적당한 $\delta > 0$이 존재하여 $\left|x-c \right| < \delta$를 만족시키는 $x \in E $가 $x=c$뿐이면, 명백히 $f$는 $x=c$에서 연속이 됨을 알 수 있다.)

 

# 정의1과 정의2에 의해 $c$가 $E$의 집적점이면 $x = c$에서 연속일 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(c)$이다.

 

 

 

연속의 부정

$\exists \varepsilon_{0} > 0, \; \forall \delta > 0, \; \exists x_{\delta } \in E \;\; s.t. \;\; ( \left|x_{\delta }-c \right| < \delta, \; \left|f(x_{\delta })-f(c) \right|  \geq \varepsilon_{0} )$

 

즉, 임의의 $\delta > 0$에 대하여 적당한 $x_{\delta} \in E$가 존재하여

$\left|x_{\delta }-c \right| < \delta, \; \left|f(x_{\delta })-f(c) \right|  \geq \varepsilon_{0} $

를 만족하는 적당한 $ \varepsilon_{0} > 0$가 존재한다.